. Compare los números $A=\frac{1}{99}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{99}\right)$ y $B=\frac{1}{100}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{100}\right)$ . P2. ¿Cuántos nueves aparecen en la representación decimal del número ${\underbrace{999\ldots9}_{100\text{ digits}}}^{3}$ ? P3. Considere un paralelogramo $ABCD$ . (a) ¿Es cierto que si el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ está sobre la diagonal $BD$ , entonces $ABCD$ es un rombo? (b) ¿Es cierto que si el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ está sobre la diagonal $BD$ , entonces $ABCD$ es un rombo? P4. Demuestre que si para los enteros $x$ y $y$ el número $x^{2}+3xy+y^{2}$ es divisible por $25$ , entonces tanto $x$ como $y$ son divisibles por $5$ . P5. Ayer, el número de niños en un patio de juegos era una vez y media el número de niñas. Hoy, el número de niños es igual al cuadrado del número de niñas; además, el número de niños disminuyó en $6$ , y el número de niñas disminuyó en $7$ en comparación con ayer. ¿Cuántos niños había en el patio de juegos ayer? P6. Demuestre que para todos los números naturales $n$ se cumple la identidad $1\cdot1!+2\cdot2!+\ldots+n\cdot n!=(n+1)!-1$ . (Aquí $k!=1\cdot2\cdots k$ . )