Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que exista una secuencia de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ que satisfaga: \[a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1\] para cada $k$ con $2\leq k\leq n-1$ .

Sea $f$ una función no constante del conjunto de enteros positivos en el conjunto de enteros positivos, tal que $a-b$ divide a $f(a)-f(b)$ para todos los enteros positivos distintos $a$, $b$. Demuestra que existen infinitos primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$.

Un entero positivo $N$ se llama balanceado, si $N=1$ o si $N$ puede ser escrito como un producto de un número par de primos no necesariamente distintos. Dados enteros positivos $a$ y $b$, considera el polinomio $P$ definido por $P(x)=(x+a)(x+b)$.\n(a) Demuestra que existen enteros positivos distintos $a$ y $b$ tales que todos los números $P(1)$, $P(2)$, $\ldots$, $P(50)$ son balanceados.\n(b) Demuestra que si $P(n)$ es balanceado para todos los enteros positivos $n$, entonces $a=b$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k$ $(k \ge 2)$ enteros distintos en el conjunto ${1, 2, \ldots, n}$ tales que $n$ divide a $a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $i = 1, 2, \ldots, k - 1$. Demuestra que $n$ no divide a $a_k(a_1 - 1).$

Sean $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito. Sea $g$ una línea que pasa por $A$ que se encuentra con el segmento $BC$ en $M$ y la línea $CD$ en $N$. Denotemos por $I_1$, $I_2$ y $I_3$ los incentros de $\triangle ABM$, $\triangle MNC$ y $\triangle NDA$, respectivamente. Demuestra que el ortocentro de $\triangle I_1I_2I_3$ se encuentra en $g$.

Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sean las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$ y las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en $F$ . Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $G$ y $H$ , respectivamente. Demuestre que $EF$ es tangente en $E$ al círculo que pasa por los puntos $E$ , $G$ y $H$ .

Sea $ABC$ un triángulo. El incírculo de $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Z$ e $Y$ , respectivamente. Sea $G$ el punto donde las líneas $BY$ y $CZ$ se encuentran, y sean $R$ y $S$ puntos tales que los dos cuadriláteros $BCYR$ y $BCSZ$ son paralelogramos. Pruebe que $GR=GS$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ . respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la línea $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$ . Demuestre que $ OP = OQ.$

Para cualquier entero $n\geq 2$ , calculamos el entero $h(n)$ aplicando el siguiente procedimiento a su representación decimal. Sea $r$ el dígito más a la derecha de $n$ . Si $r=0$ , entonces la representación decimal de $h(n)$ resulta de la representación decimal de $n$ eliminando este dígito más a la derecha $0$ . Si $1\leq r \leq 9$ dividimos la representación decimal de $n$ en una parte derecha máxima $R$ que consiste únicamente en dígitos no menores que $r$ y en una parte izquierda $L$ que está vacía o termina con un dígito estrictamente menor que $r$ . Entonces la representación decimal de $h(n)$ consiste en la representación decimal de $L$ , seguida de dos copias de la representación decimal de $R-1$ . Por ejemplo, para el número $17,151,345,543$ , tendremos $L=17,151$ , $R=345,543$ y $h(n)=17,151,345,542,345,542$ . Demuestre que, comenzando con un entero arbitrario $n\geq 2$ , la aplicación iterada de $h$ produce el entero $1$ después de un número finito de pasos.

En un tablero de $999\times 999$ , una torre coja puede moverse de la siguiente manera: Desde cualquier casilla puede moverse a cualquiera de sus casillas adyacentes, es decir, una casilla que tenga un lado en común con ella, y cada movimiento debe ser un giro, es decir, las direcciones de dos movimientos consecutivos cualesquiera deben ser perpendiculares. Una ruta no intersecante de la torre coja consiste en una secuencia de casillas diferentes por pares que la torre coja puede visitar en ese orden mediante una secuencia admisible de movimientos. Tal ruta no intersecante se llama cíclica, si la torre coja puede, después de llegar a la última casilla de la ruta, moverse directamente a la primera casilla de la ruta y comenzar de nuevo. ¿Cuántas casillas visita la ruta cíclica no intersecante más larga posible de una torre coja?