A4 Sea $P$ un polinomio, con coeficientes reales, en tres variables y sea $F$ una función de dos variables tal que \[ P(ux, uy, uz) = u^2 F(y-x,z-x) \quad \mbox{para todos los reales $x,y,z,u$}, \] y tal que $P(1,0,0)=4$, $P(0,1,0)=5$ y $P(0,0,1)=6$. Además, sean $A,B,C$ números complejos con $P(A,B,C)=0$ y $|B-A|=10$. Encuentra $|C-A|$.

A6 Para cada entero positivo $n$, sea $a(n)$ el número de ceros en la representación en base 3 de $n$. ¿Para qué números reales positivos $x$ converge la serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{a(n)}}{n^3} \]?

B1 Evalúa \[ \int_2^4 \frac{\sqrt{\ln(9-x)}\,dx}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}. \]

Sea $F$ el campo de $p^2$ elementos, donde $p$ es un primo impar. Supón que $S$ es un conjunto de $(p^2-1)/2$ elementos distintos no nulos de $F$ con la propiedad de que para cada $a \neq 0$ en $F$, exactamente uno de $a$ y $-a$ está en $S$. Sea $N$ el número de elementos en la intersección $S \cap \{2a : a \in S\}$. Demuestra que $N$ es par.

Sean $r$, $s$ y $t$ enteros con $0 \leq r$, $0 \leq s$ y $r+s \leq t$. Demuestra que \[ \frac{\binom s0}{\binom tr} + \frac{\binom s1}{\binom{t}{r+1}} + \cdots + \frac{\binom ss}{\binom{t}{r+s}} = \frac{t+1}{(t+1-s)\binom{t-s}{r}}. \]

Sea \[ \vec{G}(x,y) = \left( \frac{-y}{x^2+4y^2}, \frac{x}{x^2+4y^2},0 \right). \] Demuestra o refuta que existe una función vectorial \[ \vec{F}(x,y,z) = (M(x,y,z), N(x,y,z), P(x,y,z)) \] con las siguientes propiedades: (i) $M,N,P$ tienen derivadas parciales continuas para todo $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ ; (ii) $\mathrm{Curl}\,\vec{F} = \vec{0}$ para todo $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ ; (iii) $\vec{F}(x,y,0) = \vec{G}(x,y)$ .

A1 Encuentra, con explicación, el valor máximo de $f(x)=x^3-3x$ en el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $x^4+36\leq 13x^2$.

B3 Sea $F$ un campo en el que $1+1 \neq 0$. Demuestra que el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2+y^2=1$ con $x$ y $y$ en $F$ está dado por $(x,y)=(1,0)$ y \[ (x,y) = \left( \frac{r^2-1}{r^2+1}, \frac{2r}{r^2+1} \right) \] donde $r$ recorre los elementos de $F$ tales que $r^2\neq -1$.

A3 Evalúa $\textstyle\sum_{n=0}^\infty \mathrm{Arccot}(n^2+n+1)$ , donde $\mathrm{Arccot}\,t$ para $t \geq 0$ denota el número $\theta$ en el intervalo $0 < \theta \leq \pi/2$ con $\cot \theta = t$ .

A4 Una transversal de una matriz $n\times n$ $A$ consiste en $n$ entradas de $A$, sin que haya dos en la misma fila o columna. Sea $f(n)$ el número de matrices $n\times n$ $A$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) Cada entrada $\alpha_{i,j}$ de $A$ está en el conjunto $\{-1,0,1\}$. (b) La suma de las $n$ entradas de una transversal es la misma para todas las transversales de $A$. Un ejemplo de tal matriz $A$ es \[ A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right). \] Determina con demostración una fórmula para $f(n)$ de la forma \[ f(n) = a_1 b_1^n + a_2 b_2^n + a_3 b_3^n + a_4, \] donde los $a_i$ y los $b_i$ son números racionales.