. ¿Es el número $1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{77}$ divisible por $7$ ? P2. Se sabe que para los números reales $a, b, c$ se cumple la igualdad $(a+b+c)^{2}=3(ab+bc+ca)$ . Demuestre que $a=b=c$ . P3. Un niño corre cada día $a$ o $b$ kilómetros, donde $a$ y $b$ son números naturales y $a>b$ . Puede correr exactamente $100$ kilómetros en $9$ o $11$ días, pero no puede hacerlo en $10$ días. Encuentre todos los valores posibles de $a$ y $b$ . P4. ¿Cuántos números naturales de dos dígitos tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto? P5. Un estudiante de octavo grado afirma que puede cortar cualquier cuadrado en diez cuadrados más pequeños (algunos de los cuales pueden ser congruentes). ¿Tiene razón? P6. Se sabe que $x+y=4$ y $x^{2}+y^{2}=10$ . Encuentre el valor de $x^{4}+y^{4}$ .