Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ , respectivamente, y sea $ \Gamma$ la circunferencia que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la recta $ PQ$ es tangente a la circunferencia $ \Gamma$ . Demuestra que $ OP = OQ.$

Sea $ n$ un entero positivo y sean $ a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ $ ( k\ge 2)$ enteros distintos en el conjunto $ { 1,2,\ldots,n}$ tales que $ n$ divide a $ a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $ i = 1,2,\ldots,k - 1$ . Demuestra que $ n$ no divide a $ a_k(a_1 - 1).$

Considera un tablero de $2n \times 2n$. De la línea $i$-ésima removemos los $2(i-1)$ cuadrados unitarios centrales. ¿Cuál es el número máximo de rectángulos de $2 \times 1$ y $1 \times 2$ que pueden ser colocados en la figura obtenida sin superponerse o salirse del tablero?

Llamamos a un número perfecto si la suma de sus divisores enteros positivos (incluyendo $1$ y $n$ ) es igual a $2n$ . Determinar todos los números perfectos $n$ para los cuales $n-1$ y $n+1$ son números primos.

El triángulo $ABC$ es isósceles con $AB=AC$ , y $\angle{BAC}<60^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen en el lado $AC$ de tal manera que $EB=ED$ , y $\angle{ABD}\equiv\angle{CBE}$ . Denotemos por $O$ el punto de intersección entre las bisectrices internas de los ángulos $\angle{BDC}$ y $\angle{ACB}$ . Calcular $\angle{COD}$ .

Si $n>4$ es un número compuesto, entonces $2n$ divide a $(n-1)!$.

Demuestre que $2^{147} - 1$ es divisible por $343$.

Sea $a$ un número real no nulo. Para cada entero $n$, definimos $S_n = a^n + a^{-n}$. Demuestre que si para algún entero $k$, las sumas $S_k$ y $S_{k+1}$ son enteros, entonces las sumas $S_n$ son enteros para todos los enteros $n$.

Dado un tetraedro $ABCD$. Sean $x = AB \cdot CD, y = AC \cdot BD$ y $z = AD\cdot BC$. Demuestre que existe un triángulo con lados de longitudes $x, y$ y $z$.

Sean $P_i (x_i, y_i)$ (con $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ) cinco puntos con coordenadas enteras, no tres colineales. Demuestre que entre todos los triángulos con vértices en estos puntos, al menos tres tienen áreas enteras.