Definimos una secuencia $ \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right)$ por\n\[ a_{n} = \frac {1}{n}\left(\left\lfloor\frac {n}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac {n}{2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac {n}{n}\right\rfloor\right),\n\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$ .\na) Demuestra que $a_{n+1}>a_n$ infinitamente seguido.\nb) Demuestra que $a_{n+1}<a_n$ infinitamente seguido.

Para $ x \in (0, 1)$ sea $ y \in (0, 1)$ el número cuya $ n$ - ésima cifra después del punto decimal es la $ 2^{n}$ - ésima cifra después del punto decimal de $ x$ . Demuestre que si $ x$ es racional entonces también lo es $ y$ .

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Una forma en L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una consta de tres cuadrados unitarios: [asy]\nsize(300);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1);\ndraw(P);\ndraw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P);\ndraw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P);\ndraw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P);\n[/asy] Un tablero de $5\times 5$, que consta de $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas en L son dados. Dos jugadores A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, marcan alternativamente un cuadrado unitario previamente no marcado hasta que hayan marcado un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas en L en cuadrados unitarios no marcados se llama $\textit{buena}$ si las formas en L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios no marcados del tablero. B gana si cada colocación $\textit{buena}$ de formas en L deja descubiertos al menos tres cuadrados unitarios no marcados. Determina el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las líneas perpendiculares desde el punto medio $M$ de $AB$ a las líneas $AC$ y $BC$ se intersecan con $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las líneas $EF$ y $MC$ , demuestra que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c = 3$ . Encuentra el valor mínimo de la expresión \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]

Encuentra todos los números primos $a,b,c$ y los enteros positivos $k$ que satisfacen la ecuación \[a^2+b^2+16c^2 = 9k^2 + 1.\]

Sean $a$ y $b$ enteros distintos mayores que $1$ . Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $(a^n-1)(b^n-1)$ no es un cuadrado perfecto.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que si existe una secuencia $a_0,a_1,\ldots$ de enteros que satisface la condición \[a_n=\frac{a_{n-1}+n^k}{n}\text{ para todo } n\geq 1,\] entonces $k-2$ es divisible por $3$ .

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestra que no existe una función $T$ del conjunto de los enteros en el conjunto de los enteros tal que el número de enteros $x$ con $T^n(x)=x$ es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$ , donde $T^n$ denota la $n$ -ésima aplicación de $T$ .