Sea $P$ un punto sobre la mediana $CM$ de un triángulo $ABC$ con $AC\ne BC$ y ángulo agudo $\gamma$ en $C$ , tal que las bisectrices de $\angle PAC$ y $\angle PBC$ se intersecan en un punto $Q$ sobre la mediana $CM$ . Determine $\angle APB$ y $\angle AQB$ .

Sea $\alpha_a$ el mayor divisor impar de un número natural $a$ , y sea $S_b=\sum_{a=1}^b\frac{\alpha_a}a$ Demuestre que la sucesión $S_b/b$ tiene un límite finito cuando $b\to\infty$ , y halle este límite.

Resuelva la ecuación $5^x7^y+4=3^z$ en enteros no negativos.

Las diagonales de un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ se intersecan en un punto $O$ , y $AB/CD=k>1$ . Las bisectrices de los ángulos $AOB,BOC,COD,DOA$ intersecan $AB,BC,CD,DA$ respectivamente en $K,L,M,N$ . Las rectas $KL$ y $MN$ se cortan en $P$ , y las rectas $KN$ y $LM$ se cortan en $Q$ . Si las áreas de $ABCD$ y $OPQ$ son iguales, halle el valor de $k$ .

Se dan puntos $P_1,P_2,\ldots,P_n,Q$ en el espacio $(n\ge4)$ , de los cuales no hay cuatro en un plano. Demuestre que si para cualesquiera tres puntos distintos $P_\alpha,P_\beta,P_\gamma$ existe un punto $P_\delta$ tal que el tetraedro $P_\alpha P_\beta P_\gamma P_\delta$ contiene al punto $Q$ , entonces $n$ es un número par.

¿Pueden los polinomios $x^{5}-x-1$ y $x^{2}+ax+b$ , donde $a,b\in Q$ , tener raíces complejas comunes?

Halle el menor lado posible de un cuadrado en el que se pueden colocar cinco circunferencias de radio $1$ , de modo que no haya dos de ellas con un punto interior común.

Sean $a,b,c>0$ que satisfacen que para todos los enteros $n$ , tenemos $$\lfloor an\rfloor+\lfloor bn\rfloor=\lfloor cn\rfloor$$ Demuestre que al menos uno de $a,b,c$ es un entero.

Sean $a,b,a_2,\ldots,a_{n-2}$ números reales con $ab\ne0$ tales que todas las raíces de la ecuación $$ax^n-ax^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-2}x^2-n^2bx+b=0$$ son positivas y reales. Demuestre que estas raíces son todas iguales.

Se da una pirámide triangular regular $ABCD$ con lado de la base $AB=a$ y arista lateral $AD=b$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Una recta $\alpha$ que pasa por $MN$ interseca las aristas $AD$ y $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. (a) Demuestre que $AP/AD=BQ/BC$ . (b) Halle la razón $AP/AD$ que minimiza el área de $MQNP$ .