Encuentra todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que existe un par $(a,b)$ de enteros positivos, tal que $a^2+b+3$ no es divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y sea $\Omega_A$ el excírculo $A$. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $A$ sobre las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncírculo del triángulo $APX$ interseca la línea tangente en $Q$ al circuncírculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $\overline{AR} \perp \overline{BC}$.

Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC$, y el punto $X$ en la línea $AC$ satisface $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$, respectivamente. Demuestra que las líneas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales cada $n$ - gon convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus límites.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes diferentes por pares. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se encuentran con $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . Del mismo modo, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestra que $O$ se encuentra en la línea $\overline{O_BO_D}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Omega.$ Sea la tangente a $\Omega$ en $D$ que se encuentra con los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro de $\triangle ABC$ de modo que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto en el segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestra que las líneas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

Considera una rejilla cuadrada unitaria de $100\times 100$ $\textbf{L}$ (por lo tanto, $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos en $\mathcal{F}$ se encuentran en $\textbf{L}$ y cada punto en $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono en $\mathcal{F}.$ Encuentra la máxima suma posible de las áreas de los polígonos en $\mathcal{F}.$

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La extensión de $B A$ más allá de $A$ se encuentra con $\Omega$ en $X$ , y la extensión de $B C$ más allá de $C$ se encuentra con $\Omega$ en $Z$ . Las extensiones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ se encuentran con $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestra que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la extensión del rayo $AB$ más allá de $B.$ El circuncírculo de $ACD$ se encuentra con el segmento $PD$ nuevamente en $Q.$ El circuncírculo del triángulo $APQ$ se encuentra con el segmento $PC$ en $R.$ Demuestra que las líneas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

Determina el entero más grande $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades:\n$\text{(i)}$ Cada fila contiene los números $1$ , $2$ , $\ldots$ , $100$ en algún orden.\n$\text{(ii)}$ Para cualesquiera dos filas distintas $r$ y $s$ , existe una columna $c$ tal que $|T(r,c) - T(s, c)|\geq 2$ . (Aquí $T(r,c)$ es la entrada en la fila $r$ y columna $c$ . )