3 Sea $S=\{1,2,3,\cdots,100\}$ . Halle el valor máximo del entero $k$ , tal que existan $k$ subconjuntos no vacíos distintos de $S$ que satisfagan la condición: para cualesquiera dos de los $k$ subconjuntos, si su intersección es no vacía, entonces el elemento mínimo de su intersección no es igual al elemento máximo de ninguno de los dos subconjuntos.

4 Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2014}$ enteros entre los cuales no hay dos congruentes módulo $2014$ . Sean $y_1,y_2,\dots,y_{2014}$ enteros entre los cuales no hay dos congruentes módulo $2014$ . Demuestre que se pueden reordenar $y_1,y_2,\dots,y_{2014}$ como $z_1,z_2,\dots,z_{2014}$ , de modo que entre \[x_1+z_1,x_2+z_2,\dots,x_{2014}+z_{2014}\] no haya dos congruentes módulo $4028$ .

1 $AB$ es una cuerda de la circunferencia $\omega$ , $P$ es un punto sobre el arco menor $AB$ , $E,F$ están sobre el segmento $AB$ tales que $AE=EF=FB$ . $PE,PF$ cortan a $\omega$ en $C,D$ respectivamente. Demuestre que $EF\cdot CD=AC\cdot BD$ .

2 Sean $u,v$ enteros positivos. Defina la sucesión $\{a_n\}$ como sigue: $a_1=u+v$ , y para enteros $m\ge 1$ , \[\begin{array}{lll} \begin{cases} a_{2m}=a_m+u, \\ a_{2m+1}=a_m+v, \end{cases} \end{array}\] Sea $S_m=a_1+a_2+\ldots +a_m(m=1,2,\ldots )$ . Demuestre que hay infinitos cuadrados perfectos en la sucesión $\{S_n\}$ .

3 $n$ estudiantes presentan un examen con $m$ preguntas, donde $m,n\ge 2$ son enteros. La puntuación asignada a cada pregunta es la siguiente: para una pregunta dada, si $x$ estudiantes fallan al responderla correctamente, entonces quienes la responden correctamente obtienen $x$ puntos, mientras que quienes la responden incorrectamente obtienen $0$ . La puntuación de un estudiante es la suma de sus puntuaciones en las $m$ preguntas. Ordene las puntuaciones en orden descendente $p_1\ge p_2\ge \ldots \ge p_n$ . Halle el valor máximo de $p_1+p_n$ .

4 Sean $n,k$ enteros mayores que $1$ , $n<2^k$ . Demuestre que existen $2k$ enteros ninguno de los cuales es divisible por $n$ , tales que sin importar cómo se separen en dos grupos, existen algunos números todos del mismo grupo cuya suma es divisible por $n$ .

1 Sea $n$ un entero positivo impar, y sea $a_1,a_2,\cdots,a_n$ cualquier permutación de los enteros positivos $1,2,\cdots,n$ . Demuestre que: $(a_1-1)(a^2_2-2)(a^3_3-3)\cdots (a^n_n-n)$ es un número par.

3 Dado el entero $n>1$ . Los enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ satisfacen la condición: (1) $a_1<a_2<\cdots<a_n$ ; (2) $\frac{a^2_1+a^2_2}{2},\frac{a^2_2+a^2_3}{2},\cdots,\frac{a^2_{n-1}+a^2_n}{2}$ son todos cuadrados perfectos . Demuestre que: $a_n\ge 2n^2-1.$ .

1 Sea $P$ un punto sobre la gráfica de la función $y=x+\frac{2}{x}(x>0)$ . $PA,PB$ son perpendiculares a las rectas $y=x$ y $x=0$ , respectivamente, siendo los pies de las perpendiculares $A$ y $B$ . Halle el valor de $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ .

2 En $\triangle ABC$ , los lados correspondientes a los ángulos $A,B,C$ son $a,b,c$ respectivamente. Si $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$ , halle el valor de $\frac{\tan A}{\tan B}$ .