Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K,L$ y $M$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $AB,BC$ y $CA$, respectivamente. La línea $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las líneas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestra que $\angle RIS$ es agudo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $E$ y $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $AE:EB=CF:FD$. Sea $P$ el punto en el segmento $EF$ tal que $PE:PF=AB:CD$. Demuestra que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de $E$ y $F$.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se intersecan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tal que para cada entero positivo $m\geq 1$, los números $P^m(1), \ldots, P^m(n)$ dejan exactamente $\lceil n/2^m\rceil$ residuos distintos cuando se dividen por $n$. (Aquí, $P^m$ significa $P$ aplicado $m$ veces.)

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_{n}+a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m.$ Demuestra que esta secuencia es eventualmente periódica, i.e. existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n=a_{n+d}$ para todo $n>N.$

Determina todos los enteros $n\geqslant 2$ con la siguiente propiedad: cada $n$ enteros distintos por parejas cuya suma no es divisible por $n$ puede ser ordenado en algún orden $a_1,a_2,\ldots, a_n$ tal que $n$ divide $1\cdot a_1+2\cdot a_2+\cdots+n\cdot a_n.$

Demuestra que $n!=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$ tiene solo un número finito de soluciones en enteros positivos.

Sea $r>1$ un número racional. Alicia juega un juego de solitario en una recta numérica. Inicialmente hay una cuenta roja en $0$ y una cuenta azul en $1$ . En un movimiento, Alicia elige una de las cuentas y un entero $k \in \mathbb{Z}$ . Si la cuenta elegida está en $x$ , y la otra cuenta está en $y$ , entonces la cuenta en $x$ se mueve al punto $x'$ que satisface $x'-y=r^k(x-y)$ . Encuentra todos los $r$ para los cuales Alicia puede mover la cuenta roja a $1$ en a lo sumo $2021$ movimientos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ cada uno en diferentes tarjetas. Luego baraja estas $n+1$ tarjetas, y las divide en dos montones. Demuestra que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.