5. Los números positivos $a$ , $b$ , $c$ satisfacen las desigualdades \[a + b \geq ab, \quad b + c \geq bc,\quad\text{and}\quad c+ a \geq ca.\] Demuestre que $\displaystyle a + b + c \geq \frac34abc$ .

6. Llamamos a la figura mostrada en la imagen, formada por cinco cuadrados unitarios, un $\emph{plus}$ , y a cada rectángulo formado por dos de esos cuadrados, un $\emph{minus}$ . ¿Existe un entero impar $n$ con la propiedad de que un cuadrado de lado $n$ pueda disecarse en pluses y minuses? Justifique su respuesta. https://wiki-images.artofproblemsolving.com//6/6a/18-1-6.png

7. Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$ . El punto $M$ es el punto medio de la diagonal $AE$ . El pentágono $ABCDE$ se dobla a lo largo de los segmentos $BD$ , $BM$ y $DM$ de modo que los puntos $A$ , $C$ y $E$ coinciden. Como resultado de esta operación se obtiene un tetraedro. Determine su volumen.

1 Dada una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, \ldots$ tal que para cualesquiera enteros positivos $k$ , $l$ se tiene $k+l ~ | ~ a_k + a_l$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $k > l$ , $a_k - a_l$ es divisible por $k-l$ .

2 Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con incentro $I$ . El punto $X$ se encuentra en $BC$ del mismo lado que $B$ con respecto a $AI$ . El punto $Y$ se encuentra en el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita $ABC$ . Se da que $$\angle AIX = \angle XYA = 120^\circ.$$ Demuestre que $YI$ es la bisectriz del ángulo $XYA$ .

3 Se dan un entero positivo $n \geq 2$ y números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n \in [0,1]$ . Demuestre que existen números reales $b_1, b_2, \ldots, b_n \in \{0,1\}$ , tales que para todo $1\leq k\leq l \leq n$ se tiene $$\left| \sum_{i=k}^l (a_i-b_i)\right| \leq \frac{n}{n+1}.$$

1 Sea $\lfloor \bullet \rfloor$ la función piso. Para enteros no negativos $a$ y $b$ , su xor bit a bit, denotado $a \oplus b$ , es el único entero no negativo tal que $$ \left \lfloor \frac{a}{2^k} \right \rfloor+ \left\lfloor\frac{b}{2^k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a\oplus b}{2^k}\right\rfloor$$ es par para todo $k \ge 0$ . Halle todos los enteros positivos $a$ tales que para cualesquiera enteros $x>y\ge 0$ se tiene \[ x\oplus ax \neq y \oplus ay. \] Carl Schildkraut

Determine si la longitud de la simediana no es mayor que la longitud de la bisectriz trazada desde el mismo vértice.

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $x$ e $y$ , el número $$f(x)^2+2xf(y)+y^2$$ sea un cuadrado perfecto. Propuesto por Barış Koyuncu

6 Para cualesquiera números reales $a$ y $b>0$ , defina la extensión de un intervalo $[a-b,a+b] \subseteq \mathbb{R}$ como $[a-2b, a+2b]$ . Decimos que $P_1, P_2, \ldots, P_k$ cubre el conjunto $X$ si $X \subseteq P_1 \cup P_2 \cup \ldots \cup P_k$ . Demuestre que existe un entero $M$ con la siguiente propiedad: para todo subconjunto finito $A \subseteq \mathbb{R}$ , existe un subconjunto $B \subseteq A$ con a lo sumo $M$ números, tal que para cualesquiera $100$ intervalos cerrados que cubran $B$ , sus extensiones cubren $A$ .