Considera un cuadrado cuadriculado de $3m\times 3m$, donde $m$ es un entero mayor que $1.$ Una rana se sienta en la celda de la esquina inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda de la esquina superior derecha $F.$ La rana puede saltar desde cualquier celda a la siguiente celda a la derecha o a la siguiente celda hacia arriba. Algunas celdas pueden ser 'pegajosas', y la rana queda atrapada una vez que salta sobre tal celda. Un conjunto $X$ de celdas se llama 'bloqueante' si la rana no puede llegar a $F$ desde $S$ cuando todas las celdas de $X$ son 'pegajosas'. Un conjunto bloqueante es minimal si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. Demuestra que existe un conjunto bloqueante minimal que contiene al menos $3m^2-3m$ celdas. Demuestra que todo conjunto bloqueante minimal contiene a lo sumo $3m^2$ celdas.

Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero, el cazador fija una coloración de las celdas con finitamente muchos colores. Luego, el conejo elige secretamente una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa el color de su celda actual al cazador, y luego se mueve secretamente a una celda adyacente que no ha visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un borde). El cazador gana si después de un tiempo finito: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Decide si existe una estrategia ganadora para el cazador.

Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos, a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ a la izquierda y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ a la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestra que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos.

El reino de Anisotropía consta de $n$ ciudades. Para cada dos ciudades existe exactamente un camino directo de un solo sentido entre ellas. Decimos que un camino de $X$ a $Y$ es una secuencia de caminos tal que uno puede moverse de $X$ a $Y$ a lo largo de esta secuencia sin regresar a una ciudad ya visitada. Una colección de caminos se llama diversa si ningún camino pertenece a dos o más caminos en la colección. Sean $A$ y $B$ dos ciudades distintas en Anisotropía. Sea $N_{AB}$ denota el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $A$ a $B$ . De manera similar, sea $N_{BA}$ denota el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $B$ a $A$ . Demuestra que la igualdad $N_{AB} = N_{BA}$ se cumple si y solo si el número de caminos que salen de $A$ es el mismo que el número de caminos que salen de $B$ .

Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021, y excava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy se da cuenta de que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$ . Demuestra que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$ .

Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Deseas pintar las cuentas usando $n$ colores, de tal manera que entre cada $n+1$ cuentas consecutivas, cada color aparezca al menos una vez. Encuentra el valor más grande de $m$ para el cual esta tarea $\emph{no}$ es posible.

Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos, tal que existen cuatro elementos distintos $a,b,c,d \in S$ con $\gcd(a,b) \neq \gcd(c,d)$ . Demuestra que existen tres elementos distintos $x,y,z \in S$ tales que $\gcd(x,y)=\gcd(y,z) \neq \gcd(z,x)$ .

Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen $$(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a)) = f(ab^2+bc^2+ca^2) - f(a^2b+b^2c+c^2a)$$ para todos los números reales $a$ , $b$ , $c$ .

Sea $n\geqslant 1$ un entero, y sean $x_0,x_1,\ldots,x_{n+1}$ sean $n+2$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1}-x_{i-1}^2\geqslant 1$ para todo $i=1,2,\ldots,n.$ Demuestra que \[x_0+x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}>\bigg(\frac{2n}{3}\bigg)^{3/2}.\]

Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$ . Suponga que, para cada $k=1,2,...,m$ , la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$ . Demuestra que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.