Sea $n$ un entero mayor que 2. Se dice que un entero positivo es alcanzable si es 1 o se puede obtener de 1 mediante una secuencia de operaciones con las siguientes propiedades:\n1.) La primera operación es suma o multiplicación.\n2.) A partir de entonces, las sumas y multiplicaciones se utilizan alternativamente.\n3.) En cada suma, uno puede elegir independientemente si sumar 2 o $n$\n4.) En cada multiplicación, uno puede elegir independientemente si multiplicar por 2 o por $n$ .\nSe dice que un entero positivo que no se puede obtener de esta manera es inalcanzable .\na.) Demuestre que si $n\geq 9$ , hay infinitos enteros positivos inalcanzables.\nb.) Demuestre que si $n=3$ , todos los enteros positivos excepto 7 son alcanzables.

Se da una matriz rectangular de números. En cada fila y cada columna, la suma de todos los números es un entero. Demuestre que cada número no entero $x$ en la matriz puede cambiarse a $\lceil x\rceil $ o $\lfloor x\rfloor $ de modo que las sumas de las filas y las columnas permanezcan sin cambios. (Tenga en cuenta que $\lceil x\rceil $ es el entero menor o igual a $x$ , mientras que $\lfloor x\rfloor $ es el entero mayor o igual a $x$ .)

Denotemos $f(1)=a$ , y pongamos $m=n=1$ , por lo tanto $f(f(k))=a^{2}k$ y $f(ak^{2})=f^{2}(k)$ , $\forall k \in \mathbb{N}$ . Así que ahora, tenemos: $f^{2}(x) f^{2}(y)=f^{2}(x)f(ay^{2})=f(x^{2}f(f(ay^{2})))=$ $=f(x^{2}a^{3}y^{2})=f(a(axy)^{2})=f^{2}(axy)$ $\iff f(axy)=f(x)f(y) \Rightarrow f(ax)=af(x)$ $\iff af(xy)=f(x)f(y) , \forall x,y \in \mathbb{N}$ . Ahora podemos probar fácilmente que $f(x)$ es divisible por $a$ para cada $x$ , más probablemente tenemos que $f^{k}(x)=a^{k-1}\cdot f(x^{k})$ es divisible por $a^{k-1}$ . Para probar la aseveración anterior consideramos $p^{\alpha}$ y $p^{\beta}$ las potencias exactas de un primo $p$ que dividen a $f(x)$ y $a$ respectivamente, por lo tanto $k\alpha \geq (k-1)\beta , \forall k \in \mathbb{N}$ , por lo tanto $\alpha\geq \beta$ , así que $f(x)$ es divisible por $a$ . Ahora solo consideramos la función $g(x)=\frac{f(x)}{a}$ . Entonces: $g(1)=1, g(xy)=g(x)g(y), g(g(x))=x$ . Dado que $g(x)$ respeta la condición inicial del problema y $g(x)\leq f(x)$ , afirmamos que es suficiente encontrar el valor mínimo de $g(1998)$ . Dado que $g(1998)=g(2 \cdot 3^{3}\cdot 37) =g(2) \cdot g^{3}(3)\cdot g(37)$ , y $g(2),g(3),g(37)$ son números primos distintos (la prueba sigue fácilmente), tenemos que $g(1998)$ , no es menor que $2^{3}\cdot 3 \cdot 5=120$ . Pero $g$ siendo una biyección, el valor $120$ , se obtiene para cualquier $g$ , así que tenemos que $g(2)=3, g(3)=2, g(5)=37, g(37)=5$ , por lo tanto la respuesta es $120$ , y por lo tanto el problema está resuelto!

Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xyz=1$ . Demostrar que \[ \frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)}+\frac{y^{3}}{(1 + z)(1 + x)}+\frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]

Sean $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ números reales mayores o iguales que 1. Demuestre que \[ \frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + \cdots +\frac{1}{r_{n}+1} \geq \frac{n}{ \sqrt[n]{r_{1}r_{2} \cdots r_{n}}+1}. \]

Sean $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ números reales positivos tales que $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}<1$ . Demuestre que \[ \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \left[ 1 - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \right] }{(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( 1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})} \leq \frac{1}{ n^{n+1}}. \]

Sea $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots $ una secuencia creciente de enteros no negativos tal que cada entero no negativo puede ser expresado unicamente en la forma $a_{i}+2a_{j}+4a_{k}$ , donde $i,j$ y $k$ no son necesariamente distintos. Determine $a_{1998}$ .

Demuestre que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo con las siguientes propiedades: Tiene exactamente $n$ dígitos. Ninguno de los dígitos es 0. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $\tau (n)$ denota el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y él mismo). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$ .

Determinar el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ , \[f( n^{2}f(m)) =m( f(n)) ^{2}. \]