15 Un cuadrado de papel tiene lados de longitud $ 100$ . De cada esquina se corta una cuña de la siguiente manera: en cada esquina, los dos cortes de la cuña comienzan cada uno a distancia $ \sqrt {17}$ de la esquina, y se encuentran en la diagonal con un ángulo de $ 60^\circ$ (ver la figura de abajo). Luego el papel se dobla hacia arriba a lo largo de las líneas que unen los vértices de cortes adyacentes. Cuando los dos bordes de un corte se encuentran, se pegan con cinta. El resultado es una bandeja de papel cuyos lados no están en ángulo recto con la base. La altura de la bandeja, es decir, la distancia perpendicular entre el plano de la base y el plano formado por los bordes superiores, se puede escribir en la forma $ \sqrt [n]{m}$ , donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos, $ m < 1000$ , y $ m$ no es divisible por la $ n$ -ésima potencia de ningún primo. Encuentra $ m + n$ . [asy]import math; unitsize(5mm); defaultpen(fontsize(9pt)+Helvetica()+linewidth(0.7)); pair O=(0,0); pair A=(0,sqrt(17)); pair B=(sqrt(17),0); pair C=shift(sqrt(17),0)*(sqrt(34)*dir(75)); pair D=(xpart(C),8); pair E=(8,ypart(C)); draw(O--(0,8)); draw(O--(8,0)); draw(O--C); draw(A--C--B); draw(D--C--E); label("$\sqrt{17}$",(0,2),W); label("$\sqrt{17}$",(2,0),S); label("cut",midpoint(A--C),NNW); label("cut",midpoint(B--C),ESE); label("fold",midpoint(C--D),W); label("fold",midpoint(C--E),S); label("$30^\circ$",shift(-0.6,-0.6)*C,WSW); label("$30^\circ$",shift(-1.2,-1.2)*C,SSE);[/asy]

Una organización matemática está produciendo un conjunto de placas conmemorativas. Cada placa contiene una secuencia de cinco caracteres elegidos entre las cuatro letras de AIME y los cuatro dígitos de $2007$ . Ningún carácter puede aparecer en una secuencia más veces de las que aparece entre las cuatro letras de AIME o los cuatro dígitos de $2007$ . Un conjunto de placas en el que cada secuencia posible aparece exactamente una vez contiene $N$ placas. Encuentra $\frac{N}{10}$ .

2 Una caminadora móvil de 100 pies de largo se mueve a una tasa constante de 6 pies por segundo. Al sube al inicio de la caminadora y se queda parado. Bob sube al inicio de la caminadora dos segundos después y camina hacia adelante sobre la caminadora a una tasa constante de 4 pies por segundo. Dos segundos después de eso, Cy llega al inicio de la caminadora y camina rápidamente hacia adelante junto a la caminadora a una tasa constante de 8 pies por segundo. En cierto momento, una de estas tres personas está exactamente a la mitad entre las otras dos. En ese momento, encuentra la distancia en pies entre el inicio de la caminadora y la persona del medio.

3 El cuadrado $ABCD$ tiene lado de longitud $13$, y los puntos $E$ y $F$ son exteriores al cuadrado tales que $BE=DF=5$ y $AE=CF=12$. Encuentra $EF^{2}$. [asy] size(200); defaultpen(fontsize(10)); real x=22.61986495; pair A=(0,26), B=(26,26), C=(26,0), D=origin, E=A+24*dir(x), F=C+24*dir(180+x); draw(B--C--F--D--C^^D--A--E--B--A, linewidth(0.7)); dot(A^^B^^C^^D^^E^^F); pair point=(13,13); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D)); label("$E$", E, dir(point--E)); label("$F$", F, dir(point--F));[/asy]

4 Los trabajadores de una fábrica producen artículos y artilugios. Para cada producto, el tiempo de producción es constante e idéntico para todos los trabajadores, pero no necesariamente igual para los dos productos. En una hora, 100 trabajadores pueden producir 300 artículos y 200 artilugios. En dos horas, 60 trabajadores pueden producir 240 artículos y 300 artilugios. En tres horas, 50 trabajadores pueden producir 150 artículos y m artilugios. Encuentra m.

5 La fórmula para convertir una temperatura Fahrenheit $F$ a la temperatura Celsius correspondiente $C$ es $C=\frac{5}{9}(F-32)$. Una temperatura Fahrenheit entera se convierte a Celsius y se redondea al entero más cercano; la temperatura Celsius entera resultante se convierte de vuelta a Fahrenheit y se redondea al entero más cercano. ¿Para cuántas temperaturas Fahrenheit enteras $T$ con $32 \leq T \leq 1000$ la temperatura original es igual a la temperatura final?

Una rana se coloca en el origen de una recta numérica y se mueve según la siguiente regla: en un movimiento dado, la rana avanza hasta el punto entero más cercano con coordenada entera mayor que sea múltiplo de 3, o hasta el punto entero más cercano con coordenada entera mayor que sea múltiplo de 13. Una secuencia de movimientos es una sucesión de coordenadas que corresponden a movimientos válidos, comenzando en 0 y terminando en 39. Por ejemplo, 0, 3, 6, 13, 15, 26, 39 es una secuencia de movimientos. ¿Cuántas secuencias de movimientos son posibles para la rana?

Dado un número real $x,$ sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Para cierto entero $k,$ hay exactamente $70$ enteros positivos $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{70}$ tales que $k=\lfloor\sqrt[3]{n_{1}}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_{2}}\rfloor = \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor$ y $k$ divide a $n_{i}$ para todo $i$ tal que $1 \leq i \leq 70.$ Encuentra el valor máximo de $\frac{n_{i}}{k}$ para $1\leq i \leq 70.$

Una hoja de papel rectangular mide 4 unidades por 5 unidades. Se dibujan varias líneas paralelas a los bordes del papel. Un rectángulo determinado por las intersecciones de algunas de estas líneas se llama básico si (i) los cuatro lados del rectángulo son segmentos de las líneas dibujadas, y (ii) no hay segmentos de líneas dibujadas dentro del rectángulo. Dado que la longitud total de todas las líneas dibujadas es exactamente 2007 unidades, sea \(N\) el máximo número posible de rectángulos básicos determinados. Encuentra el residuo cuando \(N\) se divide entre 1000.

9 En el triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), \(CA=30\) y \(CB=16\). Sus catetos \(\overline{CA}\) y \(\overline{CB}\) se extienden más allá de \(A\) y \(B\). Los puntos \(O_{1}\) y \(O_{2}\) están en el exterior del triángulo y son los centros de dos círculos con radios iguales. El círculo con centro \(O_{1}\) es tangente a la hipotenusa y a la extensión del cateto \(CA\), el círculo con centro \(O_{2}\) es tangente a la hipotenusa y a la extensión del cateto \(CB\), y los círculos son tangentes externamente entre sí. La longitud del radio de cualquiera de los círculos se puede expresar como \(p/q\), donde \(p\) y \(q\) son enteros positivos relativamente primos. Encuentra \(p+q\).