1 Encuentra $x^2+y^2$ si $x$ y $y$ son enteros positivos tales que \[xy+x+y = 71\qquad\text{y}\qquad x^2y+xy^2 = 880.\]

7 Encuentra $A^2$, donde $A$ es la suma de los valores absolutos de todas las raíces de la siguiente ecuación: \begin{eqnarray*}x &=& \sqrt{19} + \frac{91}{{\displaystyle \sqrt{19}+\frac{91}{{\displaystyle \sqrt{19}+\frac{91}{{\displaystyle \sqrt{19}+\frac{91}{{\displaystyle \sqrt{19}+\frac{91}{x}}}}}}}}}\end{eqnarray*}

8 ¿Para cuántos números reales $a$ la ecuación cuadrática $x^2 + ax + 6a=0$ tiene solo raíces enteras para $x$?

Supón que $\sec x+\tan x=\frac{22}7$ y que $\csc x+\cot x=\frac mn,$ donde $\frac mn$ está en su mínima expresión. Encuentra $m+n.$

10 Dos cadenas de tres letras, $aaa$ y $bbb$, se transmiten electrónicamente. Cada cadena se envía letra por letra. Debido a un equipo defectuoso, cada una de las seis letras tiene una probabilidad de 1/3 de recibirse incorrectamente, como una $a$ cuando debería haber sido una $b$, o como una $b$ cuando debería ser una $a$. Sin embargo, si una letra dada se recibe correcta o incorrectamente es independiente de la recepción de cualquier otra letra. Sea $S_a$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $aaa$ y sea $S_b$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $bbb$. Sea $p$ la probabilidad de que $S_a$ venga antes que $S_b$ en orden alfabético. Cuando $p$ se escribe como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es su numerador?

Once doce discos congruentes se colocan sobre un círculo \(C\) de radio 1 de tal manera que los doce discos cubren \(C\), no hay dos discos que se superpongan, y cada uno de los doce discos es tangente a sus dos vecinos. La disposición resultante de los discos se muestra en la figura de abajo. La suma de las áreas de los doce discos se puede escribir en la forma \(\pi(a-b\sqrt{c})\), donde \(a,b,c\) son enteros positivos y \(c\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(a+b+c\). [asy] real r=2-sqrt(3); draw(Circle(origin, 1)); int i; for(i=0; i<12; i=i+1) { draw(Circle(dir(30*i), r)); dot(dir(30*i)); } draw(origin--(1,0)--dir(30)--cycle); label("1", (0.5,0), S);[/asy]

12 El rombo $PQRS$ está inscrito en el rectángulo $ABCD$ de modo que los vértices $P$, $Q$, $R$ y $S$ son puntos interiores de los lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$, respectivamente. Se da que $PB=15$, $BQ=20$, $PR=30$ y $QS=40$. Sea $m/n$, en términos reducidos, el perímetro de $ABCD$. Halla $m+n$.

1.7 Halle todos los números primos $p$ para los cuales el número $$3^p + 4^p + 5^p + 9^p - 98$$ tiene a lo sumo $6$ divisores positivos.

Un cajón contiene una mezcla de calcetines rojos y azules, con un total de a lo más 1991. Sucede que, al seleccionar dos calcetines al azar sin reemplazo, la probabilidad de que ambos sean rojos o ambos sean azules es exactamente $1/2$. ¿Cuál es el mayor número posible de calcetines rojos en el cajón que sea consistente con estos datos?

Un hexágono está inscrito en un círculo. Cinco de sus lados miden 81 y el sexto, denotado por $\overline{AB}$, mide 31. Encuentra la suma de las longitudes de las tres diagonales que se pueden trazar desde $A$.