Sea $n$ un número natural y $f(n) = 2n - 1995 \lfloor \frac{n}{1000} \rfloor$ ( $\lfloor$ $\rfloor$ denota la función piso). \n1. Demostrar que si para algún entero $r$ : $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces), entonces $n$ es múltiplo de $1995$ . \n2. Demostrar que si $n$ es múltiplo de 1995, entonces existe r tal que : $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces). Determinar $r$ si $n=1995.500=997500$

El semicírculo con centro $O$ y diámetro $AC$ se divide en dos arcos $AB$ y $BC$ con razón $1: 3$ . $M$ es el punto medio del radio $OC$ . Sea $T$ el punto del arco $BC$ tal que el área del cuadrilátero $OBTM$ es máxima. Hallar dicha área en función del radio.

Escribimos los dígitos de $1995$ de la siguiente manera: $199511999955111999999555......$ \n1. Determinar cuántos dígitos tenemos que escribir para que la suma de los dígitos escritos sea $2880$ . \n2. ¿Qué dígito está en la posición número $1995$ ?

Sea $ABCD$ un rectángulo con: $AB=a$ , $BC=b$ . Dentro del rectángulo tenemos dos círculos exteriormente tangentes tales que uno es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , el otro es tangente a los lados $CB$ y $CD$ . \n1. Hallar la distancia entre los centros de los círculos (usando $a$ y $b$ ) . \n2. Cuando los radios de ambos círculos cambian, el punto de tangencia entre ambos cambia y describe un lugar geométrico. Hallar ese lugar geométrico.

Hay diez puntos marcados en una circunferencia, numerados del $1$ al $10$ y se unen todos los puntos con segmentos. Se colorean los segmentos, algunos de rojo y otros de azul. Sin cambiar los colores de los segmentos, se reenumeran todos los puntos del $1$ al $10$. ¿Será posible colorear los segmentos y reenumerar los puntos de manera que los números que estaban unidos con rojo ahora estén unidos con azul y los números que estaban unidos con azul ahora estén unidos con rojo?

Hallar un número de $3$ dígitos, sabiendo que la suma de sus dígitos es $9$ , su producto es $24$ y además el número leído de derecha a izquierda es $\frac{27}{38}$ del original.

Se juega un juego de solitario en un tablero rectangular de $m\times n$, usando $mn$ marcadores que son blancos por un lado y negros por el otro. Inicialmente, cada cuadrado del tablero contiene un marcador con su lado blanco hacia arriba, excepto por un cuadrado de esquina, que contiene un marcador con su lado negro hacia arriba. En cada movimiento, uno puede quitar un marcador con su lado negro hacia arriba, pero luego debe voltear todos los marcadores que están en cuadrados que tienen un borde en común con el cuadrado del marcador removido. Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que todos los marcadores pueden ser removidos del tablero.

Diez puntos están marcados en el plano de modo que no hay tres de ellos en una línea. Cada par de puntos está conectado con un segmento. Cada uno de estos segmentos está pintado con uno de $k$ colores, de tal manera que para cualquier $k$ de los diez puntos, hay $k$ segmentos, cada uno uniendo dos de ellos y no habiendo dos pintados con el mismo color. Determine todos los enteros $k$ , $1\leq k\leq 10$ , para los cuales esto es posible.

En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Suponga que cada par de jueces está de acuerdo en como máximo $k$ candidatos. Demuestre que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

Sea $U=\{1,2,\ldots ,n\}$ , donde $n\geq 3$ . Se dice que un subconjunto $S$ de $U$ está dividido por una disposición de los elementos de $U$ si un elemento que no está en $S$ aparece en la disposición en algún lugar entre dos elementos de $S$ . Por ejemplo, 13542 divide a $\{1,2,3\}$ pero no a $\{3,4,5\}$ . Demuestre que para cualquier $n-2$ subconjuntos de $U$ , cada uno conteniendo al menos 2 y como máximo $n-1$ elementos, existe una disposición de los elementos de $U$ que los divide a todos.