Para dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c(n,0)=c(n,n)=1$ para todo $n\geq 0$ ; - $c(n+1,k)=2^{k}c(n,k)+c(n,k-1)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demostrar que $c(n,k)=c(n,n-k)$ para todo $n\geq k\geq 0$ .

Determine el entero más pequeño $n\geq 4$ para el cual uno puede elegir cuatro números diferentes $a,b,c$ y $d$ de cualquier $n$ enteros distintos tales que $a+b-c-d$ es divisible por $20$.

Determine todos los pares $(a,b)$ de números reales tales que $a \lfloor bn \rfloor =b \lfloor an \rfloor $ para todos los enteros positivos $n$. (Note que $\lfloor x\rfloor $ denota el mayor entero menor o igual que $x$.)

Encontrar todos los $a, b$ enteros positivos tales que: $\frac {a^{2}*b+a+b}{a*b^2+b+7}$ es un entero positivo. \n\nQuiero otra solución que sea diferente a la solución de la IMO.\nMi solución para este caso es $a=b$, es fácil tener la solución\nsi $a<b$ entonces $a*b*(a-b)+a-7 <0$ (contradicción)\npor lo tanto $a>b$ sea $a$ en $(m*b,(m+1)*b)$ ($m$ entero positivo)\nentonces es fácil probar que:\n$m< \frac {a^{2}*b+a+b}{a*b^2+b+7} <(m+1)$ (contradicción)\nasí que $a$ es divisible por $b$ entonces $a=k*b$ ($k$ entero positivo)\nentonces $\frac{k^2*b^3+k*b+b}{k*b^3+b+7}$ = $\frac{b*{k^2*b^2+k+1}}{k*b^3+b+7}$\nsi $(a,7)=1$ entonces $(b,k*b^3+b+7)=1$\nasí que $\frac {k^2*b^2+k+1}{k*b^3+b+7}$ es un entero positivo y es fácil probar que $k>b$\nes fácil probar que\n\[k\equiv 0 (mod b)\]\nasí que $k=q*b$ ($b >= 3$ y $q$ es un entero positivo)\nentonces $\frac {k^2*b^2+k+1}{k*b^3+b+7}$ = ${\{q^2*b^4+q*b+1}{q*b^4+b+1}$ = $q$ + $\frac {1-q}{q*b^4+b+1}$ (contradicción)\nsi $b$ es divisible por $7$ entonces $b=7*u$ ($u$ entero positivo)\ny es fácil probar que $u=k$ (es similar para este caso dos)\nasí que tenemos la solución $a=7*k^2$ , $b=7*k$\nMi solución es correcta o no :D :D :D

Determinar todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$ .

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle A=90^{\circ }$ y $\angle B<\angle C$ . La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ se encuentra con la línea $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$ , sea $X$ el pie de la perpendicular de $A$ a $BE$ , y sea $Y$ el punto medio del segmento $AX$ . Sea la línea $BY$ intersectar el círculo $\omega$ de nuevo en $Z$ . Demuestra que la línea $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ADZ$ .

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle ACB=2\angle ABC$ . Sea $D$ el punto en el lado $BC$ tal que $CD=2BD$ . El segmento $AD$ se extiende a $E$ de modo que $AD=DE$ . Demostrar que\n\[ \angle ECB+180^{\circ }=2\angle EBC. \]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle B+\angle D+\angle F=360^{\circ }$ y\n\[ \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA} = 1. \]\nDemostrar que\n\[ \frac{BC}{CA} \cdot \frac{AE}{EF} \cdot \frac{FD}{DB} = 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro, y $R$ su circunradio. Sea $D$ la reflexión del punto $A$ a través de la línea $BC$ , sea $E$ la reflexión del punto $B$ a través de la línea $CA$ , y sea $F$ la reflexión del punto $C$ a través de la línea $AB$ . Demostrar que los puntos $D$ , $E$ y $F$ son colineales si y sólo si $OH=2R$ .

Las cartas numeradas del 1 al 9 están dispuestas al azar en una fila. En un movimiento, uno puede elegir cualquier bloque de cartas consecutivas cuyos números estén en orden ascendente o descendente, y cambiar el bloque. Por ejemplo, 9 1 $\underline{6\ 5\ 3}$ $2\ 7\ 4\ 8$ se puede cambiar a $9 1$ $\underline{3\ 5\ 6}$ $2\ 7\ 4\ 8$ . Demuestre que en un máximo de 12 movimientos, uno puede organizar las 9 cartas para que sus números estén en orden ascendente o descendente.