6 Halle el mayor valor entero posible de la longitud del lado de un triángulo equilátero cuyos vértices pertenecen a la región interior de un cuadrado de lado $100$.

2 Resuelva la ecuación $5x^{2}+6y^{2}=6y-9$ .

1 Un profesor escribe una sucesión de dígitos en el pizarrón según la siguiente regla: si los dos últimos dígitos escritos son $a$ y $b$ , entonces el siguiente dígito escrito es el último dígito del número $a \cdot b$ . Por ejemplo, si los dígitos iniciales son $1$ y $8$ , la sucesión continúa como $1, 8, 8, 4, 2, \ldots$ . Se sabe que inicialmente se escribieron en el pizarrón los dígitos $3$ y $4$ . ¿Qué dígito se escribirá en la posición $2019$ - ésima?

5 Mahmut tiene $1000$ cubos unitarios blancos. Quiere ensamblarlos todos en algún paralelepípedo rectangular que sea completamente blanco por fuera. Su hermano menor Mustafa pintó accidentalmente de negro algunas caras de los cubos. ¿Cuál es el número mínimo de caras que Mustafa debe haber pintado de negro, dado que Mahmut ya no puede ensamblar el paralelepípedo deseado?

4 Se marca un punto $T$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de modo que $AT$ sea la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ . Se marca un punto $S$ sobre el rayo $AT$ tal que $AS = CT.$ Demuestre que $AS = CS$ si y solo si $AT = TB.$

3 Todos los números naturales se colorean con dos colores: blanco y negro . Se sabe que la suma de dos números blancos distintos cualesquiera también es blanca. Además, la suma de dos números negros cualesquiera también es negra. ¿Cuántos coloreados diferentes que satisfacen estas condiciones existen?

2 Sea $T_{n}$ la suma de los primeros $n$ números naturales, es decir, $T_{n}=1+2+\ldots+n$ . Para algunos números naturales $m$ y $n$ , suponga que $2T_{m}=T_{n}$ . Demuestre que el número $T_{2m-n}$ es un cuadrado perfecto.

1 Determine todas las ternas de números primos $(p,q,r)$ tales que $p^{p}+q^{q}=r$ .

. En una ciudad, el $20\%$ de la población tiene bicicletas, y el $30\%$ tiene scooters. Se sabe que $\frac{1}{4}$ de todas las personas que tienen bicicleta también tienen scooter. ¿Qué porcentaje de la población de la ciudad no tiene ni scooter ni bicicleta? P2. Halle todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} ab^{2}+ab+1 &=0, \\ a^{2}b^{2}+a^{2}b+ab^{2}+ab+a+b+3 &=0. \end{aligned}\right.\] P3. Sasha tiene $n$ reyes de ajedrez. Resulta que no importa cómo Sasha intente colocar estos reyes en un tablero de $8\times8$ , siempre habrá dos reyes que ataquen la misma casilla. Determine el menor valor posible de $n$ . P4. Una pila consta de $2024$ cartas etiquetadas con los números $1^{2}, 2^{2}, \ldots, 2024^{2}$ (un número por carta). Alibek y Nursultan toman cartas de la pila alternadamente, comenzando Alibek. Después de que se toman todas las cartas, Alibek calcula la suma de los números de sus cartas. El objetivo de Alibek es que esta suma sea divisible por $4$ , mientras que el objetivo de Nursultan es impedirlo. ¿Puede Nursultan lograrlo? P5. En el triángulo $ABC$ , $\angle A=15^{\circ}$ y $\angle C=45^{\circ}$ . Sobre el rayo $CB$ , más allá del punto $B$ , se marca un punto $D$ tal que $DB=2BC$ . Determine la medida del ángulo $\angle ADC$ .

5 Dado un cuadrilátero $ABCD$ . Los puntos $X, Y, Z$ son los puntos medios de los segmentos $DA, AB, BC$ respectivamente. Resultó que $XY \perp AB$ , $XZ \perp BC$ , y $\angle BCD=109^\circ$ . Halle el ángulo $\angle ACB$ .