2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $|AB|<|AC|$. Sean $X$ e $Y$ puntos en el arco menor ${BC}$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ tales que $|BX|=|XY|=|YC|$. Supón que existe un punto $N$ en el segmento $\overline{AY}$ tal que $|AB|=|AN|=|NC|$. Demuestra que la recta $NC$ pasa por el punto medio del segmento $\overline{AX}$. (Ivan Novak)

3 Sea $\ell$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $k$ es bueno si $k!+\ell$ es un cuadrado de un entero. Demuestra que para todo entero positivo $n \geqslant \ell$, el conjunto $\{1, 2, \ldots,n^2\}$ contiene a lo más $n^2-n +\ell$ enteros buenos. (Théo Lenoir)

4 Sea $n$ un entero positivo. Morgane ha coloreado los enteros $1,2,\ldots,n$. Cada uno de ellos está coloreado con exactamente un color. Resultó que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a<b$ y $a+b \leqslant n$, al menos dos de los enteros entre $a$, $b$ y $a+b$ son del mismo color. Demuestra que existe un color que se ha usado para al menos $2n/5$ enteros. (Vincent Jugé)

Alice dibujó un $2021$-ágono regular en el plano. Luego, Bob etiquetó cada vértice del $2021$-ágono con un número real, de manera que las etiquetas de vértices consecutivos difieren en a lo más $1$. Después, para cada par de vértices no consecutivos cuyas etiquetas difieren en a lo más $1$, Alice trazó una diagonal que los conecta. Sea $d$ el número de diagonales que Alice trazó. Encuentra el menor valor posible que puede tomar $d$.

2 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sea $X \ne A$ la intersección de $AD$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sea $\Omega$ la circunferencia que pasa por $D$ y $X$, tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $Y$ y $Z$ las intersecciones de la tangente a $\Omega$ en $D$ con las mediatrices de los segmentos $DE$ y $DF$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $YE$ y $ZF$, y sea $G$ el baricentro de $ABC$. Muestra que las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ y la recta $PG$ son concurrentes.

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que $$x^2-y^2+2y(f(x)+f(y))$$ es un cuadrado de un entero para todos los enteros positivos $x$ y $y$.

2 Consideramos disecciones de $n$ - gons regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$ - gon. Una triangulación bicolorada es tal disección de un $n$ - gon en la cual cada triángulo está coloreado de negro o blanco y cualesquiera dos triángulos que comparten una arista tienen colores distintos. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$ - gon regular tiene una triangulación bicolorada tal que para cada vértice $A$ del $n$ - gon el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentra todos los números triangulables.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto sobre la recta $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ están en lados opuestos de $I$. Demuestra que la recta $AI$, la recta perpendicular a $AE$ en $E$, y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes.

Para enteros \(n \ge k \ge 0\) definimos el coeficiente bibinomial \(\left( \binom{n}{k} \right)\) mediante \[ \left( \binom{n}{k} \right) = \frac{n!!}{k!!(n-k)!!} .\] Determina todos los pares \((n,k)\) de enteros con \(n \ge k \ge 0\) tales que el coeficiente bibinomial correspondiente sea un entero. Observación: El doble factorial \(n!!\) se define como el producto de todos los enteros positivos pares hasta \(n\) si \(n\) es par, y el producto de todos los enteros positivos impares hasta \(n\) si \(n\) es impar. Así, por ejemplo, \(0!! = 1\), \(4!! = 2 \cdot 4 = 8\), y \(7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\).

2 Determina todas las funciones \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que \[ xf(xy) + xyf(x) \ge f(x^2)f(y) + x^2y \] se cumple para todos \( x,y \in \mathbb{R} \).