1 Un candado comercialmente disponible con diez botones puede abrirse presionando — en cualquier orden — los cinco botones correctos. La muestra que se muestra abajo tiene $\{1, 2, 3, 6, 9\}$ como su combinación. Supón que estos candados se rediseñan de modo que conjuntos de hasta nueve botones o tan pocos como un botón puedan servir como combinaciones. ¿Cuántas combinaciones adicionales permitiría esto? [asy] path p=origin--(18,0)--(18,5)--(0,5)--cycle; draw(p^^shift(0,8)*p^^shift(22,0)*p^^shift(22,16)*p^^shift(22,24)*p); filldraw(shift(0,16)*p^^shift(22,8)*p^^shift(22,32)*p^^shift(0,32)*p^^shift(0,24)*p, black, black); draw((-1,-1)--(41,-1)--(41,38)--(-1,38)--cycle, linewidth(2)); int i; for(i=1; i<6; i=i+1) { label(string(6-i), (-3,8*i-5.5), W); label(string(11-i), (43,8*i-5.5), E); }[/asy]

2 Para cualquier entero positivo \(k\), sea \(f_1(k)\) el cuadrado de la suma de los dígitos de \(k\). Para \(n \ge 2\), sea \(f_n(k) = f_1(f_{n - 1}(k))\). Encuentra \(f_{1988}(11)\).

3 Encuentra $(\log_2 x)^2$ si $\log_2 (\log_8 x) = \log_8 (\log_2 x)$ .

4 Supón que $|x_i| < 1$ para $i = 1, 2, \dots, n$. Supón además que \[ |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|. \] ¿Cuál es el menor valor posible de $n$?

5 Sea $m/n$, en términos mínimos, la probabilidad de que un divisor positivo elegido al azar de $10^{99}$ sea un múltiplo entero de $10^{88}$. Encuentra $m + n$.

6 Es posible colocar enteros positivos en los veintiún cuadrados vacíos del cuadrado de $5 \times 5$ que se muestra abajo, de modo que los números en cada fila y columna formen sucesiones aritméticas. Encuentra el número que debe ocupar el cuadrado vacío marcado con el asterisco (*). [asy] int i; for(i=1; i<5; i=i+1) { draw((0,2*i)--(10,2*i)); draw((2*i,0)--(2*i,10)); } string[] no={"0", "74", "103", "*", "186"}; pair[] yes={(1,1), (3,7), (5,3), (7,9), (9,5)}; for(i=0; i<5; i=i+1) { label(no[i], yes[i]); } draw(origin--(10,0)--(10,10)--(0,10)--cycle, linewidth(2));[/asy]

En el triángulo \(ABC\), \(\tan \angle CAB = 22/7\), y la altura desde \(A\) divide a \(BC\) en segmentos de longitud 3 y 17. ¿Cuál es el área del triángulo \(ABC\)?

8 La función $f$, definida sobre el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades: \begin{eqnarray*} f(x,x) &=& x, \\ f(x,y) &=& f(y,x), \quad \text{y} \\ (x + y) f(x,y) &=& yf(x,x + y). \end{eqnarray*} Calcula $f(14,52)$.

9 Encuentra el entero positivo más pequeño cuyo cubo termina en 888.

11 Sean $w_1, w_2, \dots, w_n$ números complejos. Una recta $L$ en el plano complejo se llama recta media para los puntos $w_1, w_2, \dots, w_n$ si $L$ contiene puntos (números complejos) $z_1, z_2, \dots, z_n$ tales que \[ \sum_{k = 1}^n (z_k - w_k) = 0. \] Para los números $w_1 = 32 + 170i$ , $w_2 = -7 + 64i$ , $w_3 = -9 +200i$ , $w_4 = 1 + 27i$ , y $w_5 = -14 + 43i$ , existe una única recta media con intersección con el eje $y$ igual a 3. Encuentra la pendiente de esta recta media.