1 (a) Encuentra todos los enteros positivos $ n$ para los cuales $ 2^n-1$ es divisible por $ 7$ . (b) Demuestra que no existe ningún entero positivo $ n$ para el cual $ 2^n+1$ sea divisible por $ 7$ .

2 Supón que \(a,b,c\) son los lados de un triángulo. Demuestra que \[ a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc \]

3 Un círculo está inscrito en un triángulo $ABC$ con lados $a,b,c$. Se construyen tangentes al círculo paralelas a los lados del triángulo. Cada una de estas tangentes corta un triángulo de $\triangle ABC$. En cada uno de estos triángulos, se inscribe un círculo. Encuentra la suma de las áreas de los cuatro círculos inscritos (en términos de $a,b,c$).

1 El número natural no nulo n es un cuadrado perfecto. Al dividir $2023$ entre $n$ , obtenemos el resto $223- \frac{3}{2} \cdot n$ . Halle el cociente de la división.

2 Decimos que un número natural se denomina especial si todos sus dígitos son no nulos y cualesquiera dos dígitos adyacentes en su representación decimal son consecutivos (no necesariamente en orden ascendente). a) Determine el mayor número especial $m$ cuya suma de dígitos sea igual a $2023$ . b) Determine el menor número especial $n$ cuya suma de dígitos sea igual a $2022$ .

3 Determine todos los números naturales $m$ y $n$ tales que \[ n \cdot (n + 1) = 3^m + s(n) + 1182, \] donde $s(n)$ representa la suma de los dígitos del número natural $n$ .

4 Decimos que un número $n \ge 2$ tiene la propiedad $(P)$ si, en su factorización prima, al menos uno de los factores tiene exponente $3$ . a) Determine el menor número $N$ con la propiedad de que, sin importar cómo elijamos $N$ números naturales consecutivos, al menos uno de ellos tiene la propiedad $(P).$ b) Determine los menores $15$ números consecutivos $a_1, a_2, \ldots, a_{15}$ que no tienen la propiedad $(P),$ tales que la suma de los números $5 a_1, 5 a_2, \ldots, 5 a_{15}$ sea un número con la propiedad $(P).$

1 Determine todas las sucesiones de razones iguales de la forma \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_3}{a_4} = \frac{a_5}{a_6} = \frac{a_7}{a_8} \] que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: $\bullet$ El conjunto $\{ a_1, a_2, \ldots , a_8 \}$ representa todos los divisores positivos de $24$ . $\bullet$ El valor común de las razones es un número natural.

2 Determine todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros que satisfacen simultáneamente las siguientes relaciones: \begin{align*} a^2 + a = b + c, \\ b^2 + b = a + c, \\ c^2 + c = a + b. \end{align*}

3 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número \[ N = \frac{1}{n \cdot (n + 1)} \] puede representarse como una fracción decimal finita.