Sea $p$ un primo y $n$ un entero. Definimos $v_p(n)$ como el mayor entero positivo tal que $p^{v_p(n)}\mid n$. Si $p\neq 2$, entonces para cualesquiera enteros $a,b$ tales que $p\mid a-b$ tenemos que $$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n).$$ Para $p=2$ tenemos $$v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1.$$

Decimos que $a\mid b$ o que un entero $a$ divide a otro entero $b$ si existe un entero $k$ tal que $ak=b$.

Sean $a,b,c,d$ y $n$ enteros y sea $p$ un primo entonces tenemos las siguientes propiedades de congruencias de modulos. 1. (Reflectividad) $a\equiv a\text{ mod } n$. 2. (Linealidad) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $c\equiv d\text{ mod } n $ entonces $a+b\equiv c+d\text{ mod } n$. 3. (Multiplicatividad) Si $a\equiv b\text{ mod }n$ y $c\equiv d\text{ mod }n$ entonces $ab\equiv cd\text{ mod } n$. 4. (Divisores) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $m\mid n$ entonces $a\equiv b\text{ mod } m$. 5. (Productos) Si $a\equiv b\text{ mod } n$ entonces $ac\equiv bc \text{ mod } nc$. 6. (Inverso multiplicativo modulo primos) Si $a\not\equiv 0\text{ mod }p$ entonces existe un entero $k$ tal que $ak\equiv 1\text{ mod }p$. Y llamamos a este $k$ como $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$. 7. ('Dividir'modulo primos) Si $ab\equiv cb \text{ mod }p$ entonces $a\equiv c\text{ mod }p$. (Esta ultima propiedad es al multiplicar por el inverso multiplicativo $b^{-1}$.)

Sea $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$ un polinomio con raices $r_1,r_2,\ldots, r_n$. Entonces tenemos las siguientes igualdades para todo $i\leq 0\leq n$ $$\frac{a_i}{a_n}=(-1)^{n-i}\sum r_{c_1}r_{c_2}\cdots r_{c_{n-i}}$$ Donde la suma es sobre todas las permutaciones de $i$ elementos del $1$ al $n$. Por ejemplo: $$\frac{a_0}{a_n}=(-1)^nr_0r_1\cdots r_n, \qquad \frac{a_{n-1}}{a_n}=-r_1-r_2-\cdots -r_n.$$

Para cada entero $n\le 0$ con expansion decimal $\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$ definimos a $s(n)$ como sigue: Si $k$ es par, $s(n)=\overline{a_1a_2}+\overline{a_3a_4}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+\overline{a_2a_3}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n)=1+23$ y si $n=2021$ entonces $s(n)=20+21$. Decimos que $n$ es "digital" si $n$ es multiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera $198$ enteros positivos consecutivos, todos ellos menores a $2000021$, hay uno de ellos que es digital.

Un subconjunto $B$ de $\{1,2,\cdots, 2017\}$, tiene la propiedad $T$ si cada tres números de $B$ son las longitudes de los lados de un triángulo (de área positiva). Determina la mayor cantidad de números que puede tener un conjunto $B$ que tenga la propiedad $T$.

Sobre una circunferencia $\Gamma$ se encuentran los puntos $A,B,N,C,D$ y $M$ colocados en el sentido de las manecillas del reloj de manera que $M$ y $N$ son los puntos medios de los arcos $DA$ y $BC$ (recorridos en el sentido de las manecillas del reloj). Sea $P$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$; y sea $Q$ un punto sobre $MB$ de manera que las rectas $PQ$ y $MN$ son perpendiculares. Sobre el segmento $MC$ se considera un punto $R$ de manera que $QB=RC$. Muestra que $AC$ pasa por el punto medio del segmento $QR$.

En un tablero de ajedrez de $2017\times 2017$, se han colocado en la primera columna $2017$ caballos de ajedrez, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simulátnea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k\leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos están en la columna $k$, uno en cada casilla. Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a otra $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2\times 3$.

Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: $$\lfloor x\rfloor< \lfloor x^2\rfloor<\lfloor x^3\rfloor<\cdots<\lfloor x^n\rfloor<\lfloor x^{n+1}\rfloor<\cdots$$ Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor número entero menor o igual a $x$, es decir, es el único entero que cumple que $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$.

Una pareja de enteros positivos $m,n$ es "guerrera" si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja $8,9$ es guerrera pues $8=4\cdot 2$, $9=3\cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: Empezamos coloreando el $3$ y el $5$. Después, si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.