Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2,\cdots, d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\cdots+(-1)^{d_k}d_k.$$ Por ejemplo, los divisores positivos de $10$ son $1$, $2$, $5$ y $10$, así que $$f (10) = (-1)^1 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + (-1)^5 \cdot 5 + (-1)^{10} \cdot 10 = 6.$$ Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.

Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María determina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$. Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.

En una cuadrícula de $n\times n$ se escriben los números del $1$ al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del $1$ al $n$, en el segundo los números de $n+1$ a $2n$, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen en esos cuadraditos. Determina para qué valores de $n$ es posible lograr que todos los cuadraditos tengan escrito el número $0$ después de repetir la operación tantas veces como sea necesario y, en los casos en que sea posible, determina el mínimo número de operaciones necesarias.

Sean $\Gamma_1$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_1$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_1$ tocan a la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y sea $\Gamma_2$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $C$, la recta $CA$ interseca de nuevo a $\Gamma_1$ en el punto $D$, el segmento $DB$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $E$ y la recta $PE$ interseca a $\Gamma_1$ en el punto $F$ (con $E$ entre $P$ y $F$). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de $6$ son $1$, $2$, $3$ y $6$, por lo que $d(6)=4$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $$n+d(n)=d(n)^2$$

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2\cdots,a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $s=\pm a_1\pm a_2\pm\cdots\pm a_n$ de manera que $$m<s<M$$

Considera un tablero de $(2^n-1)\times (2^n+1)$ casillas que se quiere dividir en rectángulos de tal forma que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del tablero, de tal forma que el área (cantidad de casillas) de cada rectángulo sea una potencia de $3$. Encuentra la menor cantidad de rectángulos en las que se puede dividir el tablero.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del $1$ al $64$ se escriben en las casillas del tablero como en la figura. Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos. ¿Cuál es la suma máxima que puedes obtener? Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en $2$ esquinas opuestas de un rectángulo de $2\times 3$ o de $3\times 2$. *Figura Necesaria*

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a\n$$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1,$$\nentonces $(pqr)^3$ divide a\n$$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1).$$

Un cubo de $n\times n\times n$ está construido con cubitos de $1\times 1\times 1$, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n\times 1\times 1$, de $1\times n \times 1$ y de $1\times 1\times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente $0$) de cubitos blancos intermedios. Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de $n\times 1\times 1$, de $1\times n\times 1$ y de $1\times 1\times n$ haya exactamente un cubito negro.