Defina una figura construida por cuadrados unitarios 'estrella cruzada' si satisface las siguientes condiciones: $(1)$ La barra cuadrada $AB$ es bisecada por la barra cuadrada $CD$ $(2)$ Al menos un cuadrado de $AB$ se encuentra en ambos lados de $CD$ $(3)$ Al menos un cuadrado de $CD$ se encuentra en ambos lados de $AB$ Hay una hoja de cuadrícula rectangular compuesta por $38\times 53=2014$ cuadrados, encuentre el número de tales estrella cruzada en esta hoja rectangular.

Demuestre que hay infinitos tríos de enteros positivos $(a_i,b_i,c_i)$ , $i=1,2,3,\ldots$ , que satisfacen la ecuación $a^2+b^2=c^4$ , tales que $c_n$ y $c_{n+1}$ son coprimos para cualquier entero positivo $n$.

Sea $\omega_{1}$ un círculo con centro $O$ . $P$ es un punto en $\omega_{1}$ . $\omega_{2}$ es un círculo con centro $P$ , con radio menor que $\omega_{1}$ . $\omega_{1}$ se encuentra con $\omega_{2}$ en los puntos $T$ y $Q$ . Sea $TR$ un diámetro de $\omega_{2}$ . Dibuje otros dos círculos con $RQ$ como el radio, $R$ y $P$ como los centros. Estos dos círculos se encuentran en el punto $M$ , con $M$ y $Q$ situados en el mismo lado de $PR$ . Un círculo con centro $M$ y radio $MR$ interseca a $\omega_{2}$ en $R$ y $N$ . Pruebe que un círculo con centro $T$ y radio $TN$ pasa por $O$.

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales positivos tales que $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ $(n\ge 2)$ . Pruebe que \[\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}-x^3_{i+1}}\ge \frac{n^3}{n^2-1}.\] Aquí $x_{n+1}=x_1.$

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales no negativos tales que $x_ix_j\le 4^{-|i-j|}$ $(1\le i,j\le n)$ . Pruebe que \[x_1+x_2+\cdots+x_n\le \frac{5}{3}.\]

Sea $p$ un primo, $x,y,z $ sean enteros positivos tales que $x<y<z<p$ y $\{\frac{x^3}{p}\}=\{\frac{y^3}{p}\}=\{\frac{z^3}{p}\}$ . Pruebe que $(x+y+z)|(x^5+y^5+z^5).$

Sea $n\geq 4$ un entero positivo. De $n$ personas, cada dos individuos juegan un partido de tenis de mesa (cada partido tiene un ganador). Encuentre el valor mínimo de $n$ , tal que para cualquier resultado posible del juego, siempre existe un grupo ordenado de cuatro personas $(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ , tal que la persona $a_{i}$ gana contra $a_{j}$ para cualquier $1\leq i<j\leq 4$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $M $ el punto medio de $BC$ . $MI$ ( $I$ incentro) interseca a $AB$ en $D$ y $CI$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E$ . Pruebe que $\frac{ED }{ EI} = \frac{IB }{IC}$

Para enteros positivos $ n$ , $ f_n = \lfloor2^n\sqrt {2008}\rfloor + \lfloor2^n\sqrt {2009}\rfloor$ . Pruebe que hay infinitos números impares e infinitos números pares en la secuencia $ f_1,f_2,\ldots$ .

En un tablero de ajedrez de $ 2008 \times 2008$ dado, cada cuadrado unitario está coloreado en un color diferente. Cada cuadrado unitario se llena con una de las letras C, G, M, O. El tablero resultante se llama armónico si cada subcuadrado de $ 2 \times 2$ contiene las cuatro letras diferentes. ¿Cuántos tableros armónicos hay?