Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_{10}$ números naturales distintos por pares con su suma igual a 1995. Encuentre el valor mínimo de $a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_9a_{10}+a_{10}a_1$.

Dadas cuatro esferas con sus radios iguales a $2,2,3,3$ respectivamente, cada esfera toca externamente a las otras esferas. Suponga que hay otra esfera que es tangente externamente a todas esas cuatro esferas, determine el radio de esta esfera.

Encuentre el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} \sum_{k=1}^{10}|k(x+y-10i)(3x-6y-36j)(19x+95y-95k)|$ , donde $x,y$ son enteros.

Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función que satisface las siguientes condiciones: (1) $f(1)=1$ ; (2) $\forall n\in \mathbb{N}$ , $3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )$ ; (3) $\forall n\in \mathbb{N}$ , $f(2n) < 6 f(n)$ . Encuentre todas las soluciones de la ecuación $f(k) +f(l)=293$ , donde $k<l$ . ($\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los números naturales).

Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_n; b_1,b_2,\cdots ,b_n (n\ge 3)$ números reales que satisfacen las siguientes condiciones: (1) $a_1+a_2+\cdots +a_n= b_1+b_2+\cdots +b_n $ ; (2) $0<a_1\le a_2, a_i+a_{i+1}=a_{i+2}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-2$ ) ; (3) $0<b_1\le b_2, b_i+b_{i+1}\le b_{i+2}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-2$ ) . Pruebe que $a_{n-1}+a_n\le b_{n-1}+b_n$.

Dado un entero $n \geq2$ y números reales $a,b$ tales que $0<a<b$ . Sean $x_1,x_2,\ldots, x_n\in [a,b]$ números reales. Encuentre el valor máximo de $$\frac{\frac{x^2_1}{x_2}+\frac{x^2_2}{x_3}+\cdots+\frac{x^2_{n-1}}{x_n}+\frac{x^2_n}{x_1}}{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n}.$$

Sea $D_n$ el conjunto de divisores de $n$ . Encuentre todos los $n$ naturales tales que es posible dividir $D_n$ en dos conjuntos disjuntos $A$ y $G$ , ambos conteniendo al menos tres elementos cada uno, tales que los elementos en $A$ forman una progresión aritmética mientras que los elementos en $G$ forman una progresión geométrica.

Sea $n \geq 2$ un número natural. Para cualesquiera dos permutaciones de $(1,2,\cdots,n)$ , digamos $\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ y $\beta = (b_1,b_2,\cdots,b_n),$ si existe un número natural $k \leq n$ tal que $$b_i = \begin{cases} a_{k+1-i}, & \text{ }1 \leq i \leq k; \\ a_i, & \text{} k < i \leq n, \end{cases}$$ llamamos a $\alpha$ una permutación amigable de $\beta$ . Demuestre que es posible enumerar todas las permutaciones posibles de $(1,2,\cdots,n)$ como $P_1,P_2,\cdots,P_m$ tal que para todo $i = 1,2,\cdots,m$ , $P_{i+1}$ es una permutación amigable de $P_i$ donde $m = n!$ y $P_{m+1} = P_1$ .

Considere un rectángulo $R$ particionado en $2016$ rectángulos más pequeños de tal manera que los lados de cada rectángulo más pequeño sean paralelos a uno de los lados del rectángulo original. Llame a las esquinas de cada rectángulo un vértice. Para cualquier segmento que una dos vértices, llámelo básico si ningún otro vértice se encuentra en él. (Los segmentos deben ser parte de la partición.) Encuentre el número máximo/mínimo posible de segmentos básicos sobre todas las particiones posibles de $R$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $\odot O$ su circuncírculo, $\odot I$ su incírculo. Las tangentes en $B,C$ a $\odot O$ se encuentran en $L$ , $\odot I$ toca a $BC$ en $D$ . $AY$ es perpendicular a $BC$ en $Y$ , $AO$ se encuentra con $BC$ en $X$ , y $OI$ se encuentra con $\odot O$ en $P,Q$ . Demuestre que $P,Q,X,Y$ son concíclicos si y sólo si $A,D,L$ son colineales.