Sea $(a_n)$ la secuencia definida por $\sum_{d\mid n} a_n=2^n$. Demuestra que $n\mid a_n$.

Sea $\mu$ la funcion de Mobius, sea $\delta$ la funcion de Dirichlet y ${\bf 1}$ la funcion identicamente $1$. Sean $f,g$ dos funciones multiplicativas cualquiera. La inversion de Mobius nos dice que si $$g(n)=\sum_{d\mid n}f(n)\iff f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(\frac{n}{d})$$ Esto es equivalente a un argumento que es sobre la estructura de las funciones multiplicativas bajo la convolucion de Dirichlet $$\mu*{\bf 1}=\delta$$ y por lo tanto $$g=f*{\bf 1}\iff g*\mu=f*{\bf 1}*\mu=f*\delta=f.$$

Dadas dos funciones $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ la convolucion de Dirichlet se define como $$(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d}).$$ Esta operacion tiene varias propiedades como: - La funcion $\delta$ de dirichlet es la identidad. - es conmutativa - es asociativa - se distribuye sobre la suma: $f*(g+h)=f*g+f*h$ - la convolucion de dos funciones multiplicativas es multiplicativa.

Sea $f$ una funcion multiplicativa y $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ un entero positivo entonces $$\sum_{d\mid n} f(d)=(f(1)+f(p_1)+\cdots +f(p_1^{\alpha_1}))\cdots (f(1)+f(p_k)+\cdots+f(p_k^{\alpha_k}))$$

Decimos que una funcion $f:\mathbb{N}\to \mathbb{C}$ es multiplicativa si $$f(mn)=f(m)f(n)$$ cuando $m,n$ son primos relativos. Algunos ejemplos de funciones multiplicativas conocidas son: - La funcion $\varphi$ de Euler. - La funcion $\mu$ de Mobius que se define como $\mu(n)=(-1)^m$ si $n$ tiene exactamente $m$ divisores primos, todos distintos entre si. Y $\mu(n)=0$ si $n$ no es libre de cuadrados. - La funcion $\sigma$ la suma de los divisores de $n$. - La funcion $\tau$ que cuenta el numero de divisores de $n$.

Encuentra la congruencia $$\prod_{i=0}^{100}(1-i^2+i^4) \text{ mod } 101.$$

Sea $p$ un primo impar y $x$ un entero tal que $p\mid x^3-1$ pero $p\not\mid x-1$. Demuestra que $$p\mid (p-1)!(x-\frac{x^2}{2}+3\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{p-1}}{p-1})$$

Para cualquier congruencia $k\not\equiv 0\text{ mod }p$ tenemos que $$\frac{1}{k}\equiv (-1)^{k-1}\frac{1}{p}{p\choose k}\text{ mod }p.$$

Sea $p > 3$ un primo. Entonces $$(p-1)!(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1})\equiv 0 \text{ mod } p^2.$$

Si $p$ es un primo entonces tenemos que $$1^n+2^n+\cdots +(p-1)^n$$ es $1$ si $p-1\mid n$ y es $0$ si no. Esto les deberia recordar a la suma de raices de la unidad, porque es lo mismo. Pues modulo $p$ tenemos una raiz primitiva $\omega$ y entonces todas las sumas que vemos ahi son $1+\omega^{n}+\omega^{2n}+\cdots+\omega^{(p-2)n}$.