En ocasiones es util que cuando una suma solo se da cuando algo es multiplo de $n$ se puede ver como una suma que sucede con raices $n$-esimas de la unidad. Esto pues tenemos que si la raiz $n$-esima es $\omega$ entonces $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$ Un ejemplo de como esto puede ser util es caluclar la siguiente suma. $$\sum_{k\geq 0} {1000 \choose 3k}.$$ Podemos reescribir esto como $$\frac{1}{3}\sum_{k\geq 0} {1000\choose k}(1+\omega^n+\omega^{2n})$$ donde $\omega$ es la raiz cubica de $1$. Pues $1+\omega^n+\omega^{2n}$ es $3$ si $3|n$ y es $0$ si no. Podemos luego reescribir esta suma de la siguiente forma $$\frac{1}{3}\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}(1+\omega^n+\omega^{2n})=\frac{1}{3}(\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^n+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^{2n})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(1+\omega)^{1000}+(1+\omega^2)^{1000}$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(-\omega^2)^{1000}+(-\omega)^{1000})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+\omega+\omega^2)=\frac{2^{1000}-1}{3}$$