Los números de Fibonacci $F_0, F_1, F_2, \ldots$ se definen de manera inductiva por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, y $F_{n-1} = F_n + F_{n-2}$ para $n \geq 1$. Dado un entero $n \geq 2$, determina el tamaño más pequeño de un conjunto $S$ de enteros tal que para cada $k \geq 2$, existen $x, y \in S$ tales que $x-y = F_k$.

Sea $n$ un entero con $n \geq 2$. En una pendiente de una montaña, se marcan $n^2$ puntos de control numerados del $1$ al $n^2$ de abajo hacia arriba. Cada una de las dos compañías de teleférico, A y B, opera $k$ teleféricos numerados del $1$ al $k$; cada teleférico ofrece un traslado desde algún punto de control a uno superior. Para cada compañía, y para cualquier $i$ y $j$ con $1 \leq i \leq j \leq k$, el punto de inicio del teleférico $j$ está más arriba que el punto de inicio del teleférico $i$; de manera similar, el punto final del teleférico $j$ está más arriba que el punto final del teleférico $i$. Diremos que dos puntos de control están vinculados por alguna compañía si se puede partir del punto de control inferior y llegar al superior utilizando uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite moverse a pie). Determina el valor más pequeño de $k$ para el cual podemos garantizar que existen dos puntos de control que están vinculados por ambas compañías.

En un $100$-agono regular, $41$ vértices están coloreados de negro y los $59$ vértices restantes están coloreados de blanco. Demuestra que existen $24$ cuadriláteros convexos $Q_1, Q_2, \ldots, Q_{24}$ cuyos vértices son vértices del $100$-agono, de manera que • los cuadriláteros $Q_1, Q_2, \ldots, Q_{24}$ son mutuamente disjuntos, y • cada cuadrilátero $Q_i$ tiene tres vértices de un color y un vértice del otro color.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número de permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ que satisfacen \[ a_1 \leq 2a_2 \leq 3a_3 \leq \ldots \leq na_n. \]

Denota a $\mathbb{R}^+$ como el conjunto de los números reales positivos. Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen, para todos los números reales positivos $x$ e $y$, \[ f(x + f\left(xy)\right) + y=f(x)f(y)+1. \]

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestra que para $a_1, \ldots, a_n \in [1, 2^k]$ se cumple \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \ldots + a_i^2}} \leq 4\sqrt{kn}. \]

Determina todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen \[ f^{a^2 + b^2}(a+b) = af(a) + bf(b) \] para todos los enteros $a$ y $b$, donde $f^n(x)$ denota la $n$-ésima iteración de $f$, es decir, $f^0(x) = x$ y $f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$ para todo $n \geq 0$.

Un mago tiene la intención de realizar el siguiente truco. Anuncia un entero positivo $n$, junto con $2n$ números reales $x_1 \leq \ldots \leq x_{2n}$, ante la audiencia. Un miembro de la audiencia luego elige en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \ldots, P(x_{2n})$, y anota estos valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso, el mago anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede el mago encontrar una estrategia para realizar tal truco?

Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro números reales tales que $a \geq b \geq c \geq d > 0$ y $a + b + c + d = 1$. Demuestra que \[ (a + 2b + 3c + 4d ) a^ab^bc^cd^d< 1. \]

Supongamos que $a$, $b$, $c$ y $d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Encuentra el valor más pequeño posible de \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}. \]