Sean $I$ y $I_A$ el incentro y el excentro $A$-excentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB < AC$. El incirculo es tangente a $BC$ en $D$. La recta $AD$ interseca a $BI_A$ y $CI_A$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AID$ y $I_AEF$ son tangentes entre sí.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico sin lados paralelos. Sean $K$, $L$, $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente, de tal manera que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ y $\omega_4$ los incírculos de los triángulos $ANK$, $BKL$, $CLM$ y $DMN$, respectivamente. Demuestra que las tangentes internas comunes a $\omega_1$ y $\omega_3$ y las tangentes internas comunes a $\omega_2$ y $\omega_4$ son concurrentes.

En el plano, hay $n \geq 6$ discos disjuntos $D_1, D_2, \ldots, D_n$ con radios $R_1 \geq R_2 \geq \ldots \geq R_n$. Para cada $i = 1, 2, \ldots, n$, se elige un punto $P_i$ en el disco $D_i$. Sea $O$ un punto arbitrario en el plano. Demuestra que \[ OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geq R_6 + R_7 + \ldots + R_n. \] (Se asume que un disco contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC > 90^\circ$, $\angle CDA > 90^\circ$ y $\angle DAB = \angle BCD$. Denotamos por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ en las rectas $BC$ y $CD$, respectivamente. Supongamos que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Supongamos que $P$ es un punto en el interior de $ABCD$ tal que \[ \angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. \] Las bisectrices internas de los ángulos $ADP$ y $PCB$ se cortan en un punto $Q$ dentro del triángulo $ABP$. Demuestra que $AQ = BQ$.

Sea $ABC$ un triangulo isosceles con $BC=BA$, y sea $D$ un punto en el segmento $AB$ tal que $AD<AB$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\angle DPB=\angle DQA=90^\circ$. La mediatriz de $PQ$ interseca a $CQ$ en $E$ y los circuncirculos de $ABC$ y $CPQ$ se cortan otra vez en $F\neq C$. Supongamos que $P,E,F$ son colineales. Demuestra que $\angle ACB=90^\circ$.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en un pizarrón que inicialmente contiene $2020$ copias del número $1$. En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x$ e $y$ del pizarrón, y luego el jugador $B$ escribe uno de los números $x + y$ y $|x - y|$ en el pizarrón. El juego termina tan pronto como, al final de alguna ronda, se cumple una de las siguientes condiciones: - Uno de los números en el pizarrón es mayor que la suma de todos los demás números. - Solo hay ceros en el pizarrón. Luego, el jugador $B$ debe dar tantas galletas al jugador $A$ como números hay en el pizarrón. El jugador $A$ desea obtener tantas galletas como sea posible, mientras que el jugador $B$ desea dar lo menos posible. Determina la cantidad de galletas que el jugador $A$ recibirá si ambos jugadores juegan de manera óptima.

Considera una mesa rectangular con un numero finito de filas y columnas, con un número real $a_{r,c}$ en la celda de la fila $r$ y columna $c$. Una pareja $(R,C)$, donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de monte si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. Para cada fila $r'$, existe una fila $r \in R$ tal que $a_{r,c} \geq a_{r',c}$ para todo $c \in C$. 2. Para cada columna $c'$, existe una columna $c \in C$ tal que $a_{r,c} \leq a_{r,c'}$ para todo $r \in R$. Un par de monte $(R,C)$ se llama par minimal si para cada par de silla $(R',C')$ con $R' \subseteq R$ y $C' \subseteq C$, se tiene $R' = R$ y $C' = C$. Demuestra que todos los pares minimales tienen el mismo número de filas.

Se tienen $4n$ monedas que pesan $1, 2, 3, \ldots, 4n$. Cada moneda está coloreada con uno de $n$ colores, y hay cuatro monedas de cada color. Demuestra que todas estas monedas se pueden dividir en dos conjuntos con el mismo peso, de manera que cada conjunto contenga dos monedas de cada color.

Sea $p$ un número primo impar, definimos $N = \frac{p^3 - p}{4} -1 $. Los números $1, 2, \ldots, N$ son pintados arbitrariamente en dos colores, rojo y azul. Para cualquier entero positivo $n \leq N$, denotamos por $r_n$ a la fracción de enteros en $\{1, 2, \ldots, n\}$ que son rojos. Demuestra que existe un entero positivo $a \in \{1, 2, \ldots, p-1\}$ tal que $r_n \neq \frac{a}{p}$ para todo $n = 1, 2, \ldots, N$.