Sea $n$ un entero con $n \geq 2$. En una pendiente de una montaña, se marcan $n^2$ puntos de control numerados del $1$ al $n^2$ de abajo hacia arriba. Cada una de las dos compañías de teleférico, A y B, opera $k$ teleféricos numerados del $1$ al $k$; cada teleférico ofrece un traslado desde algún punto de control a uno superior. Para cada compañía, y para cualquier $i$ y $j$ con $1 \leq i \leq j \leq k$, el punto de inicio del teleférico $j$ está más arriba que el punto de inicio del teleférico $i$; de manera similar, el punto final del teleférico $j$ está más arriba que el punto final del teleférico $i$. Diremos que dos puntos de control están vinculados por alguna compañía si se puede partir del punto de control inferior y llegar al superior utilizando uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite moverse a pie). Determina el valor más pequeño de $k$ para el cual podemos garantizar que existen dos puntos de control que están vinculados por ambas compañías.