Sea $p$ un número primo impar, definimos $N = \frac{p^3 - p}{4} -1 $. Los números $1, 2, \ldots, N$ son pintados arbitrariamente en dos colores, rojo y azul. Para cualquier entero positivo $n \leq N$, denotamos por $r_n$ a la fracción de enteros en $\{1, 2, \ldots, n\}$ que son rojos. Demuestra que existe un entero positivo $a \in \{1, 2, \ldots, p-1\}$ tal que $r_n \neq \frac{a}{p}$ para todo $n = 1, 2, \ldots, N$.