A1 Sean \( u, v, w \) reales positivos. Demuestra que existe una permutación cíclica \( (x, y, z) \) de \( (u, v, w) \) tal que la desigualdad: \[ \frac{a}{xa + yb + zc} + \frac{b}{xb + yc + za} + \frac{c}{xc + ya + zb} \geq \frac{3}{x + y + z} \] se cumple para todos los números reales positivos \( a, b \) y \( c \).

2 Dado un entero positivo $ n$ , halle todas las tuplas de enteros $ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ que satisfacen las siguientes condiciones: $ (1): a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\ge n^2;$ $ (2): a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2\le n^3+1.$ Fang-jh

3 Suponga que $ \alpha$ y $ \beta$ son dos raíces de la ecuación: $ x^2-x-1=0$ . Sea $ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ , $ n=1, 2, \cdots$ . (1) Demuestre que para todo entero positivo $ n$ se tiene $ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ . (2) Halle todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , $ a<b$ , que satisfacen $ b \mid a_n-2na^n$ para todo entero positivo $ n$ .

4 Suponga que $ S=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ consta de $ 0$ y $ 1$ y es la sucesión de números más larga que satisface la siguiente condición: cada dos bloques de $ 5$ términos sucesivos en la sucesión de números $ S$ son distintos, es decir, para cualesquiera $ 1\le i<j\le n-4$ , $ (a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4})$ y $ (a_j, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4})$ son distintos. Demuestre que los primeros cuatro términos y los últimos cuatro términos de la sucesión son iguales.

1 La sucesión $ \{x_n\}$ satisface $ x_1 = \frac {1}{2}, x_{n + 1} = x_n + \frac {x_n^2}{n^2}$ . Demuestre que $ x_{2001} < 1001$ .

2 $ ABCD$ es un rectángulo de área 2. $ P$ es un punto del lado $ CD$ y $ Q$ es el punto donde la circunferencia inscrita de $ \triangle PAB$ toca el lado $ AB$ . El producto $ PA \cdot PB$ varía al variar $ ABCD$ y $ P$ . Cuando $ PA \cdot PB$ alcanza su valor mínimo, a) Demuestre que $ AB \geq 2BC$ , b) Halle el valor de $ AQ \cdot BQ$ .

3 Sean $ n, m$ enteros positivos de distinta paridad, con $ n > m$ . Halle todos los enteros $ x$ tales que $ \frac {x^{2^n} - 1}{x^{2^m} - 1}$ es un cuadrado perfecto.

4 Sean $ x, y, z$ números reales tales que $ x + y + z \geq xyz$ . Halle el menor valor posible de $ \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$ .

3 Halle, con demostración, todos los números reales $ x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$ tales que $ (2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1$ .

A5 Demuestra que podemos encontrar $\alpha>0$ tal que, dado cualquier punto $P$ dentro de un $2n+1$-ágono regular inscrito en un círculo de radio $1$, podemos encontrar dos vértices del polígono cuyas distancias desde $P$ difieran en menos de $\frac1n-\frac\alpha{n^3}$.