1 ¿Cuántos números diferentes de $6$ dígitos y múltiplos de $45$ se pueden escribir añadiendo un dígito a la izquierda y uno a la derecha de $2008$?

N6 Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

N7 Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen \[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.\] Determine todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .

N8 Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \[ f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b). \] KevinYang2.71

A1 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$ Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

A2 Sean $u_1, u_2, \dots, u_{2019}$ números reales que satisfacen \[u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text { and } \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1.\] Sea $a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ y $b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ . Demuestre que \[ a b \leqslant-\frac{1}{2019}. \] y-is-the-best-_

A3 Sea $n \geqslant 3$ un entero positivo y sea $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ una sucesión estrictamente creciente de $n$ números reales positivos con suma igual a 2. Sea $X$ un subconjunto de $\{1,2, \ldots, n\}$ tal que el valor de \[ \left|1-\sum_{i \in X} a_{i}\right| \] se minimiza. Demuestre que existe una sucesión estrictamente creciente de $n$ números reales positivos $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ con suma igual a 2 tal que \[ \sum_{i \in X} b_{i}=1. \] y-is-the-best-_

A4 Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo y sean $a_1,a_2, \ldots ,a_n$ números reales tales que \[a_1+a_2+\dots+a_n=0.\] Defina el conjunto $A$ mediante \[A=\left\{(i, j)\,|\,1 \leqslant i<j \leqslant n,\left|a_{i}-a_{j}\right| \geqslant 1\right\}\] Demuestre que, si $A$ no es vacío, entonces \[\sum_{(i, j) \in A} a_{i} a_{j}<0.\] y-is-the-best-_

A5 Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales diferentes. Demuestre que \[\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { if } n \text { is even; } \\ 1, & \text { if } n \text { is odd. } \end{array}\right.\] y-is-the-best-_

6 Hay $n \geq 2$ clases que organizan $m \geq 1$ grupos extracurriculares para estudiantes. Cada clase tiene estudiantes que participan en al menos un grupo extracurricular. Cada grupo extracurricular tiene exactamente $a$ clases en las que participan los estudiantes de este grupo. Para cualesquiera dos grupos extracurriculares, no hay más de $b$ clases con estudiantes que participan en ambos grupos simultáneamente. a) Halle $m$ cuando $n = 8, a = 4 , b = 1$ . b) Demuestre que $n \geq 20$ cuando $m = 6 , a = 10 , b = 4$ . c) Halle el valor mínimo de $n$ cuando $m = 20 , a = 4 , b = 1$ .