1 Todos los números enteros están coloreados con 3 colores de manera arbitraria. Demuestre que existen dos números distintos cuya diferencia es un cuadrado perfecto y que están coloreados con el mismo color.

2 Sean $a, b, c$ reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$ . Halle el valor mínimo de $S=1/a^2+1/b^2+1/c^2-2(a^3+b^3+c^3)/abc$

3 Sea $d$ un divisor positivo del número $A = 1024^{1024}+5$ y supongamos que $d$ puede expresarse como $d = 2x^2+2xy+3y^2$ para algunos enteros $x,y$ . ¿Qué resto podemos obtener al dividir $d$ por $20$ ?

4 Un entero positivo $n$ se llama $nice$ , si la suma de los cuadrados de todos sus divisores positivos es igual a $(n+3)^2$ . Demuestre que si $n=pq$ es nice, donde $p, q$ son primos no necesariamente distintos, entonces $n+2$ y $2(n+1)$ son simultáneamente cuadrados perfectos.

1 Sea $n$ un entero positivo. Se da una cuadrícula $nxn$ . Algunas casillas de la cuadrícula están coloreadas de verde, de modo que no haya dos casillas verdes que compartan un lado común. ¿Es posible, sin importar cómo estén coloreadas las casillas verdes, colocar $n$ torres de modo que ninguna torre esté sobre una casilla verde y no haya dos torres que se ataquen entre sí, si a) n=19 b) n=20?

2 Dos circunferencias, con centros en A y B, se intersecan en los puntos M y N. Los radios AP y BQ son paralelos y están en semiplanos diferentes determinados por la recta AB. Si la tangente común externa interseca a AB en D, y PQ interseca a AB en C, demuestre que el <CND es recto.

3 Se dan 10 ecuaciones cuadráticas $x^2+a_1x+b_1=0$ , $x^2+a_2x+b_2=0$ , ..., $x^2+a_{10}x+b_{10}=0$ . Se sabe que cada una de estas ecuaciones tiene dos raíces reales distintas y que el conjunto de todas las soluciones es ${1,2,...10,-1,-2...,-10}$ . Halle el valor mínimo de $b_1+b_2+...+b_{10}$

4 Halle todos los enteros positivos $k>1$ , tales que exista un entero positivo $n$ , de modo que el número $A=17^{18n}+4.17^{2n}+7.19^{5n}$ sea producto de $k$ enteros positivos consecutivos.

1 Tenemos 11 cajas. En un movimiento, podemos elegir 10 de ellas y poner una bola en cada una de las cajas elegidas. Dos jugadores juegan alternadamente. Gana el que logre una caja con 21 bolas. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora?

2 El cuadrilátero ABCD está circunscrito a una circunferencia C y K, L, M, N son los puntos de tangencia de C con los lados AB, BC, CD, DA. Sea S el punto de intersección de las rectas KM y LN. Si el cuadrilátero SKBL es cíclico, demuestre que el cuadrilátero SNDM también es cíclico.