3 ¿Para qué valores reales de $k>0$ es posible disectar un rectángulo de $1 \times k$ en dos polígonos semejantes, pero no congruentes?

4 Alice y Bob juegan un juego en una cuadrícula de 6 por 6. En su turno, un jugador elige un número racional que aún no aparezca en la cuadrícula y lo escribe en una casilla vacía de la cuadrícula. Alice comienza y luego los jugadores alternan turnos. Cuando todas las casillas tienen números escritos, en cada fila, la casilla con el número más grande de esa fila se colorea de negro. Alice gana si puede entonces trazar una línea desde la parte superior de la cuadrícula hasta la parte inferior que se mantenga en casillas negras, y Bob gana si no puede. (Si dos casillas comparten un vértice, Alice puede trazar una línea de una a la otra que se mantenga en esas dos casillas.) Encuentra, con prueba, una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

5 Sean $a, b, c > 0$. Demuestra que $(a^5 - a^2 + 3)(b^5 - b^2 + 3)(c^5 - c^2 + 3) \geq (a + b + c)^3$.

6 Un círculo $\omega$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Sea $I$ el centro de $\omega$. Supón que \[ (AI + DI)^2 + (BI + CI)^2 = (AB + CD)^2. \] Demuestra que $ABCD$ es un trapecio isósceles.

1 Demuestra que para todo entero positivo $n$ existe un número de $n$ dígitos divisible por $5^n$ y cuyos dígitos son todos impares.

2 Un polígono convexo $\mathcal{P}$ en el plano se diseca en polígonos convexos más pequeños al trazar todas sus diagonales. Las longitudes de todos los lados y todas las diagonales del polígono $\mathcal{P}$ son números racionales. Demuestra que las longitudes de todos los lados de todos los polígonos en la disección también son números racionales.

3 Sea $n \neq 0$. Para cada sucesión de enteros \[ A = a_0,a_1,a_2,\dots, a_n \] que cumple $0 \le a_i \le i$, para $i=0,\dots,n$, define otra sucesión \[ t(A)= t(a_0), t(a_1), t(a_2), \dots, t(a_n) \] poniendo $t(a_i)$ igual al número de términos en la sucesión $A$ que preceden al término $a_i$ y son distintos de $a_i$. Muestra que, partiendo de cualquier sucesión $A$ como la anterior, menos de $n$ aplicaciones de la transformación $t$ llevan a una sucesión $B$ tal que $t(B) = B$.

4 Sea $ABC$ un triángulo. Una circunferencia que pasa por $A$ y $B$ interseca a los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $DE$ se intersecan en $F$, mientras que las rectas $BD$ y $CF$ se intersecan en $M$. Demuestra que $MF = MC$ si y solo si $MB\cdot MD = MC^2$.

5 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos. Demuestra que \[ \dfrac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \dfrac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \dfrac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \le 8. \]

6 En los vértices de un hexágono regular están escritos seis enteros no negativos cuya suma es $2003^{2003}$. A Bert se le permite hacer movimientos de la siguiente forma: puede elegir un vértice y reemplazar el número escrito allí por el valor absoluto de la diferencia entre los números escritos en los dos vértices vecinos. Demuestra que Bert puede hacer una secuencia de movimientos, después de la cual el número 0 aparece en los seis vértices.