13 En la ciudad $ A,$ hay $ n$ niñas y $ n$ niños, y cada niña conoce a cada niño. En la ciudad $ B,$ hay $ n$ niñas $ g_1, g_2, \ldots, g_n$ y $ 2n - 1$ niños $ b_1, b_2, \ldots, b_{2n-1}.$ La niña $ g_i,$ $ i = 1, 2, \ldots, n,$ conoce a los niños $ b_1, b_2, \ldots, b_{2i-1},$ y a ningún otro. Para todo $ r = 1, 2, \ldots, n,$ denote por $ A(r),B(r)$ el número de maneras distintas en que $ r$ niñas de la ciudad $ A,$ respectivamente de la ciudad $ B,$ pueden bailar con $ r$ niños de su propia ciudad, formando $ r$ parejas, cada niña con un niño al que conoce. Demuestre que $ A(r) = B(r)$ para cada $ r = 1, 2, \ldots, n.$

14 Sean $ b, m, n$ enteros positivos tales que $ b > 1$ y $ m \neq n.$ Demuestre que si $ b^m - 1$ y $ b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $ b + 1$ es una potencia de 2. sam-n

15 Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Muestre que contiene la sexta potencia de un entero.

16 En un triángulo acutángulo $ ABC,$ sean $ AD,BE$ alturas y $ AP,BQ$ bisectrices interiores. Denote por $ I$ y $ O$ el incentro y el circuncentro del triángulo, respectivamente. Demuestre que los puntos $ D, E,$ e $ I$ son colineales si y solo si los puntos $ P, Q,$ y $ O$ son colineales.

26 Para todo entero $ n \geq 2$ determine el valor mínimo que puede tomar la suma $ \sum^n_{i=0} a_i$ para números no negativos $ a_0, a_1, \ldots, a_n$ que satisfacen la condición $ a_0 = 1,$ $ a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}$ para $ i = 0, \ldots, n - 2.$

17 Encuentre todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

Un entero positivo se llama piola si el $9$ es el residuo que se obtiene al dividirlo por $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$ y sus dígitos son todos distintos y distintos de cero. ¿Cuántas piolas hay entre $1$ y $100000$?

B4 Encuentra todos los enteros \(n\) con \(n \geq 4\) para los cuales existe una sucesión de números reales distintos \(x_1, \ldots, x_n\) tal que cada uno de los conjuntos \[ \{x_1, x_2, x_3\}, \{x_2, x_3, x_4\},\ldots,\{x_{n-2}, x_{n-1}, x_n\}, \{x_{n-1}, x_n, x_1\},\text{ y } \{x_n, x_1, x_2\} \] forma una progresión aritmética de 3 términos cuando se ordena de manera creciente.

B3 Sea $$\begin{array}{cccc}{a_{1,1}} & {a_{1,2}} & {a_{1,3}} & {\dots} \\ {a_{2,1}} & {a_{2,2}} & {a_{2,3}} & {\cdots} \\ {a_{3,1}} & {a_{3,2}} & {a_{3,3}} & {\cdots} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots}\end{array}$$ un arreglo doblemente infinito de enteros positivos, y supón que cada entero positivo aparece exactamente ocho veces en el arreglo. Demuestra que $a_{m, n}>m n$ para algún par de enteros positivos $(m, n)$.

4 Considere la red entera $\mathbb{Z}^n$ , $n \geq 2$ , en el $n$ -espacio euclidiano. Defina una recta en $\mathbb{Z}^n$ como un conjunto de la forma $a_1 \times \cdots \times a_{k-1} \times \mathbb{Z} \times a_{k+1} \times \cdots \times a_n$ donde $k$ es un entero en el rango $1,2,\ldots,n$ , y los $a_i$ son enteros arbitrarios. Un subconjunto $A$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama admisible si es no vacío, finito, y toda recta en $\mathbb{Z}^{n}$ que interseca a $A$ contiene al menos dos puntos de $A$ . Un subconjunto $N$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama nulo si es no vacío, y toda recta en $\mathbb{Z}^n$ interseca a $N$ en un número par de puntos (posiblemente cero). (a) Demuestre que todo conjunto admisible en $\mathbb{Z}^2$ contiene un conjunto nulo. (b) Exhiba un conjunto admisible en $\mathbb{Z}^3$ del cual ningún subconjunto sea un conjunto nulo .