14 ¿Cuál es el número máximo de regiones en que se puede dividir un círculo mediante segmentos que unen $n$ puntos en la frontera del círculo? Creo que ya se publicó en el tablero...

15 Dados cuatro puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D$ sobre una circunferencia tales que $AB$ es un diámetro y $CD$ no es un diámetro. Demuestra que la recta que une el punto de intersección de las tangentes a la circunferencia en los puntos $C$ y $D$ con el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$ es perpendicular a la recta $AB.$

16 Se nos da un círculo $K$ con centro $S$ y radio $1$ y un cuadrado $Q$ con centro $M$ y lado $2$. Sea $XY$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles $XYZ$. Describe el lugar geométrico de los puntos $Z$ cuando $X$ varía a lo largo de $K$ y $Y$ varía a lo largo de la frontera de $Q$. Amir

17 Sean $ABCD$ y $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$ dos paralelogramos arbitrarios en el espacio, y sean $M,$ $N,$ $P,$ $Q$ puntos que dividen a los segmentos $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ $CC^{\prime },$ $DD^{\prime }$ en razones iguales. a.) Demuestra que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo. b.) ¿Cuál es el lugar geométrico del centro del paralelogramo $MNPQ,$ cuando el punto $M$ se mueve sobre el segmento $AA^{\prime }$ ? (Los vértices consecutivos de los paralelogramos están etiquetados en orden alfabético.)

3 Alice y Bob juegan al siguiente juego. Para empezar, Alice ordena los números $1,2,\ldots,n$ en alguna disposición en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en levantar y colocar la piedra sobre un número adyacente, con la restricción de que la piedra puede colocarse sobre el número $k$ como máximo $k$ veces. Los dos jugadores alternan turnos comenzando con Alice. El primer jugador que no pueda hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$, determina quién tiene una estrategia ganadora.

11.4 Se da un par de números enteros positivos \((a, b)\) . Resulta que para todo número entero positivo \(n\) para el cual los números \((n - a)(n + b)\) y \(n^2 - ab\) son positivos, estos tienen la misma cantidad de divisores. ¿Es necesariamente cierto que \(a = b\) ? Propuesto por Oleksii Masalitin

1 $\triangle{ABC}$ es isósceles con $AB = AC >BC$ . Sea $D$ un punto de su interior tal que $DA = DB+DC$ . Suponga que la mediatriz de $AB$ corta a la bisectriz exterior del ángulo $\angle{ADB}$ en $P$ , y sea $Q$ la intersección de la mediatriz de $AC$ con la bisectriz exterior del ángulo $\angle{ADC}$ . Demuestre que $B,C,P,Q$ son concíclicos.

18 Resuelve la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac 1p$ donde $p$ es un parámetro real. Discute para qué valores de $p$ la ecuación tiene al menos una solución real y determina el número de soluciones en $[0, 2\pi)$ para un $p$ dado. Amir

1 Halle el número positivo máximo $r$ con la siguiente propiedad: Si todas las alturas de un tetraedro son $\geq 1$ , entonces una esfera de radio $r$ cabe dentro del tetraedro. Amir

1 Pit y Bill juegan al siguiente juego. Primero Pit escribe un número $a$ , luego Bill escribe un número $b$ , y luego Pit escribe un número $c$ . ¿Puede Pit jugar siempre de modo que las tres ecuaciones $$x^3+ax^2+bx+c, x^3+bx^2+cx+a, x^3+cx^2+ax+b$$ tengan (a) una raíz real común; (b) una raíz negativa común?