Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 4
Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) la suma de las cifras de $n$ es 18, (ii) $n + 3600$ es un cuadrado perfecto y (iii) $n < 2005$.
Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 5
En el triángulo equilátero $ABC$ cada lado mide 2. Las alturas del triángulo se intersectan en el punto $H$ y la distancia de $H$ a cada lado es $k$. El triángulo $XYZ$ tiene lados paralelos a $ABC$ y las rectas $AH$, $BH$ y $CH$ cortan a los lados de $XYZ$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Si $HD = 2k$, $HE = 3k$ y $HF = 4k$, ¿cuánto mide el lado del triángulo $XYZ$? [image]
Semifinal Estatal OMM 2005 Problema 2
Dos personas $A$ y $B$ juegan alternando turnos y moviendo fichas dentro de las casillas del tablero que muestra la figura. Al principio las fichas están fuera del tablero (marcadas con $ riangle$ en la figura). En cada turno el jugador debe mover una ficha hacia la derecha o hacia abajo a una casilla desocupada. En el momento que una ficha llega a la casilla sombreada el juego termina. Si en ese momento el número de fichas dentro del tablero es par entonces gana $A$; si es impar entonces gana $B$. Considerando que $A$ juega primero y que los dos jugadores juegan apropiadamente (buscando el triunfo), ¿cuál de ellos ganará? [image]
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 1
En un pizarrón están escritos todos los enteros del 1 al 10,000, en orden. Se borran los múltiplos de 5 y después todos los múltiplos de 11. De los números que quedan sin borrar, ¿cuál queda en la posición número 2004?
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 6
En cada una de las caras de un cubo se escribió un número entero positivo y a cada uno de los vértices del cubo se le asignó el producto de los números que aparecen en las caras adyacentes al vértice. Si la suma de los números asignados a los vértices es 70, ¿cuál es la suma de todos los números que aparecen en las caras?
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 5
En la figura $ABCD$ es un paralelogramo, $L$ es una recta que corta los lados $AD$ y $CD$ del paralelogramo; $E$, $F$, $G$ y $H$ son puntos de la recta $L$ tales que $AE$, $BF$, $DG$ y $CH$ son todos perpendiculares a $L$, $AE = 4$, $GD = 7$ y $CH = 5$. ¿Cuánto mide $BF$? [image]
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 2
En un cuadrado $ABCD$ de lado 1, $P$, $Q$, $R$ y $S$ son los puntos medios de los lados como se muestra en la figura. Las rectas $AQ$, $BR$, $CS$ y $DP$ determinan el cuadrilátero $UVWY$. Calcula el ángulo $UVW$ y el área del cuadrilátero. [image]
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 3
La suma de 5 enteros positivos es 100. ¿Cuál es la mayor diferencia que pueden tener los dos más cercanos?
Semifinal Estatal OMM 2004 Problema 4
En una granja rectangular cuadriculada de $20 \times 12$ hay perros, gatos y caballos. Los perros ocupan corrales cuadrados de $2 \times 2$, los gatos ocupan corrales cuadrados de $1 \times 1$ y los caballos ocupan regiones de área 10 (sin importar la forma, pero formados por 10 cuadrados pegados entre sí, de manera que el caballo pueda recorrer todo su espacio sin salirse del corral). Los corrales comparten las bardas pero los perros no pueden estar en corrales pegados (ni siquiera por una esquina) a los de los caballos. Si se sabe que hay el mismo número $n$ de perros que de caballos, ¿qué es lo máximo que puede valer $n$?
Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 3
Llamemos capicúa a un año si el número del año tiene al menos dos cifras y se lee igual al derecho que al revés (por ejemplo, 2002 fue un año capicúa). Un hombre nació un 1° de enero y vivió durante 12 años capicúa. (a) ¿Cuál es la menor edad que pudo haber tenido cuando murió? (b) Suponiendo que murió de la edad del inciso (a), ¿en qué años pudo haber nacido?