Un $n$ - palo es una figura conectada que consta de $n$ cerillas de longitud $1$ que se colocan horizontal o verticalmente y ninguna se toca en puntos que no sean sus extremos. Dos formas que se pueden transformar entre sí moviendo, rotando o volteando se consideran iguales. Un $n$ - mino es una forma que se construye conectando $n$ cuadrados de lado de longitud 1 en sus lados de tal manera que haya un camino en los cuadrados entre cada dos cuadrados del $n$ - mino. Sea $S_n$ el número de $n$ - palos y $M_n$ el número de $n$ - minos, por ejemplo $S_3=5$ Y $M_3=2$ . (a) Demuestre que para cualquier $n$ natural , $S_n \geq M_{n+1}$ . (b) Demuestre que para $n$ suficientemente grande tenemos $(2.4)^n \leq S_n \leq (16)^n$ . Un segmento de cuadrícula es un segmento en el plano de longitud 1 cuyos extremos son puntos enteros. Un polipalo se llama sabio si usándolo y sus rotaciones o volteos podemos cubrir todos los segmentos de cuadrícula sin superposición, de lo contrario se llama insensato . (c) Demuestre que hay al menos $2^{n-6}$ diferentes $n$ - palos insensatos. (d) Demuestre que cualquier polipalo que tenga la forma de un camino que solo vaya hacia arriba y hacia la derecha es sabio. (e) Puntos extra: Demuestre que para $n$ suficientemente grande tenemos $3^n \leq S_n \leq 12^n$