Encuentra los ángulos del triángulo $ABC$ .\n[asy]\nimport graph; size(9.115122858763474cm); \nreal labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */\npen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ \npen dotstyle = black; /* point style */ \nreal xmin = -7.9216637359954705, xmax = 10.308581981531479, ymin = -6.062398124651168, ymax = 9.377503860601273; /* image dimensions */\n /* draw figures */\ndraw((1.1862495478417192,2.0592342833377844)--(3.0842,-3.6348), linewidth(1.6)); \ndraw((2.412546402365528,-0.6953452852662508)--(1.8579031454761883,-0.8802204313959623), linewidth(1.6)); \ndraw((-3.696094000229639,5.5502174997511595)--(1.1862495478417192,2.0592342833377844), linewidth(1.6)); \ndraw((-1.0848977580797177,4.042515022414228)--(-1.4249466943082025,3.5669367606747184), linewidth(1.6)); \ndraw((1.1862495478417192,2.0592342833377844)--(9.086047353374928,-3.589295214974483), linewidth(1.6)); \ndraw((9.086047353374928,-3.589295214974483)--(3.0842,-3.6348), linewidth(1.6)); \ndraw((6.087339936804166,-3.904360930324946)--(6.082907416570757,-3.319734284649538), linewidth(1.6)); \ndraw((3.0842,-3.6348)--(-2.9176473533749285,-3.6803047850255166), linewidth(1.6)); \ndraw((0.08549258342923806,-3.9498657153504615)--(0.08106006319583221,-3.3652390696750536), linewidth(1.6)); \ndraw((-2.9176473533749285,-3.6803047850255166)--(-6.62699301304923,-3.7084282888220432), linewidth(1.6)); \ndraw((-6.62699301304923,-3.7084282888220432)--(-4.815597805533209,2.0137294983122676), linewidth(1.6)); \ndraw((-5.999986761815922,-0.759127399441624)--(-5.442604056766517,-0.9355713910681529), linewidth(1.6)); \ndraw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(-3.696094000229639,5.5502174997511595), linewidth(1.6)); \ndraw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(1.1862495478417192,2.0592342833377844), linewidth(1.6)); \ndraw((-1.8168903889624484,2.3287952136627297)--(-1.8124578687290425,1.744168567987322), linewidth(1.6)); \ndraw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(-2.9176473533749285,-3.6803047850255166), linewidth(1.6)); \ndraw((-3.5893009510093994,-0.7408500702917692)--(-4.1439442078987385,-0.9257252164214806), linewidth(1.6)); \nlabel('$A$',(-4.440377746205339,7.118654172569505),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); \nlabel('$B$',(-7.868514331571194,-3.218904987952353),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); \nlabel('$C$',(9.165869786409527,-3.0594567746795223),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); /* dots and labels */\ndot((3.0842,-3.6348),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((9.086047353374928,-3.589295214974483),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((1.1862495478417192,2.0592342833377844),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((-2.9176473533749285,-3.6803047850255166),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((-4.815597805533209,2.0137294983122676),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((-6.62699301304923,-3.7084282888220432),linewidth(3.pt) + dotstyle); \ndot((-3.696094000229639,5.5502174997511595),linewidth(3.pt) + dotstyle); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */\n[/asy]

Cada lado del cuadrado $ABCD$ con lado de longitud $4$ se divide en partes iguales por tres puntos. Elija uno de los tres puntos de cada lado y conecte los puntos consecutivamente para obtener un cuadrilátero. ¿Qué números pueden ser el área de este cuadrilátero? Simplemente escriba los números sin prueba.\n[asy]\nimport graph; size(4.662701220158751cm); \nreal labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */\npen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ \npen dotstyle = black; /* point style */ \nreal xmin = -4.337693339683693, xmax = 2.323308403400238, ymin = -0.39518100382374105, ymax = 4.44811779880594; /* image dimensions */\npen yfyfyf = rgb(0.5607843137254902,0.5607843137254902,0.5607843137254902); pen sqsqsq = rgb(0.12549019607843137,0.12549019607843137,0.12549019607843137); \n\nfilldraw((-3.,4.)--(1.,4.)--(1.,0.)--(-3.,0.)--cycle, white, linewidth(1.6)); \nfilldraw((0.,4.)--(-3.,2.)--(-2.,0.)--(1.,1.)--cycle, yfyfyf, linewidth(2.) + sqsqsq); /* draw figures */\ndraw((-3.,4.)--(1.,4.), linewidth(1.6)); \ndraw((1.,4.)--(1.,0.), linewidth(1.6)); \ndraw((1.,0.)--(-3.,0.), linewidth(1.6)); \ndraw((-3.,0.)--(-3.,4.), linewidth(1.6)); \ndraw((0.,4.)--(-3.,2.), linewidth(2.) + sqsqsq); \ndraw((-3.,2.)--(-2.,0.), linewidth(2.) + sqsqsq); \ndraw((-2.,0.)--(1.,1.), linewidth(2.) + sqsqsq); \ndraw((1.,1.)--(0.,4.), linewidth(2.) + sqsqsq); \nlabel('$A$',(-3.434705427329005,4.459844914550807),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); \nlabel('$B$',(1.056779902954702,4.424663567316209),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); \nlabel('$C$',(1.0450527872098359,0.07390362597090126),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); \nlabel('$D$',(-3.551976584777666,0.12081208895036549),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); /* dots and labels */\ndot((-2.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-1.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((0.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((1.,3.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((1.,2.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((1.,1.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((0.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-1.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-3.,1.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-3.,2.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-3.,3.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \ndot((-2.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */\n[/asy]

Farhad ha fabricado una máquina. Cuando la máquina se inicia, imprime algunos números especiales. La propiedad de esta máquina es que para cada entero positivo $n$, imprime exactamente uno de los números $n,2n,3n$. Sabemos que la máquina imprime $2$. Demuestra que no imprime $13824$.

Dos círculos $C,D$ son tangentes exteriores entre sí en el punto $P$. El punto $A$ está en el círculo $C$. Dibujamos $2$ tangentes $AM,AN$ desde $A$ al círculo $D$ ( $M,N$ son los puntos de tangencia). Los segundos puntos de encuentro de $AM,AN$ con $C$ son $E,F$, respectivamente. Demuestra que $\frac{PE}{PF}=\frac{ME}{NF}$.

Demuestra que para cada entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos tales que la suma de ellos es un cuadrado perfecto y el producto de ellos es un cubo perfecto.

En una ciudad, hay algunos edificios. Decimos que el edificio $A$ es dominante al edificio $B$ si la línea que conecta la parte superior de $A$ con la parte superior de $B$ forma un ángulo mayor de $45^{\circ}$ con la tierra. Queremos construir un edificio en una ubicación dada. Supongamos que ninguno de los edificios es dominante entre sí. Demuestra que podemos construir el edificio con una altura tal que, de nuevo, ninguno de los edificios sea dominante entre sí. (Supongamos la ciudad como una llanura horizontal y cada edificio como una línea perpendicular a la llanura).

Dos vértices de un cubo son $A,O$ tales que $AO$ es la diagonal de una de sus caras. Una $n-$secuencia es una secuencia de $n+1$ vértices del cubo tal que cada $2$ vértices consecutivos en la secuencia son $2$ extremos de un lado del cubo. ¿Son las $1386-$secuencias de $O$ a sí mismo menores que las $1386-$secuencias de $O$ a $A$ o mayores que ellas?

En el triángulo $ABC$, $\angle A=90^{\circ}$ y $M$ es el punto medio de $BC$. Se elige un punto $D$ en el segmento $AC$ tal que $AM=AD$ y $P$ es el segundo punto de encuentro de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\Delta AMC,\Delta BDC$. Demuestra que la línea $CP$ biseca $\angle ACB$.

La circunferencia inscrita de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC$ en $D$. Sea $X$ un punto en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tal que si $E,F$ son los pies de las perpendiculares desde $X$ sobre $BI,CI$ y $M$ es el punto medio de $EF$ tenemos $MB=MC$. Pruebe que $\widehat{BAD}=\widehat{CAX}$

Dado un conjunto $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ de números naturales en el que para todo $1< i \leq n$ tenemos $1\leq x_i-x_{i-1}\leq 2$ , llame a un número real $a$ 'bueno' si existe $1\leq j \leq n$ tal que $2|x_j-a|\leq 1$ . Además, un subconjunto de $X$ se llama compacto si el promedio de sus elementos es un número 'bueno'. Pruebe que al menos $2^{n-3}$ subconjuntos de $X$ son compactos.