Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . La línea $CO$ se interseca con la altura desde $A$ en el punto $K$ . Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$ , $AC$ respectivamente. Si $PO$ se interseca con $BC$ en $Y$ , y el circuncirculo del triángulo $BCM$ se encuentra con $AB$ en $X$ , demuestre que $BXOY$ es cíclico.

Tenemos seis círculos por pares no intersecantes de modo que el radio de cada uno es al menos uno (ningún círculo se encuentra en el interior de ningún otro círculo). Demuestre que el radio de cualquier círculo que interseca los seis círculos, es al menos uno.

En el triángulo $ABC$ , el incírculo, con centro $I$ , toca los lados $BC$ en el punto $D$ . La línea $DI$ se encuentra con $AC$ en $X$ . La línea tangente desde $X$ al incírculo (diferente de $AC$ ) interseca a $AB$ en $Y$ . Si $YI$ y $BC$ se intersecan en el punto $Z$ , demuestre que $AB=BZ$ .

En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ) , sea $l$ una línea paralela a $BC$ que pasa por $A$ . Sea $D$ un punto arbitrario en $l$ . Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares que pasan por $A$ a $BD,CD$ respectivamente. Suponga que $P,Q$ son las imágenes de $E,F$ en $l$ . Demuestra que $AP+AQ\le AB$

En el plano, se dan $n$ puntos ( $n>2$ ) . No tres de ellos son colineales. A través de cada dos de ellos se dibuja la línea, y entre los otros puntos dados, se marca el más cercano a esta línea (en cada caso, este punto resultó ser único). ¿Cuál es el número máximo posible de puntos marcados para cada $n$ dado?

Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersecan en $A,B$ . Una línea arbitraria que pasa por $B$ se encuentra con $\omega_1,\omega_2$ en $C,D$ respectivamente. Los puntos $E,F$ se eligen en $\omega_1,\omega_2$ respectivamente de modo que $CE=CB,\ BD=DF$ . Suponga que $BF$ se encuentra con $\omega_1$ en $P$ , y $BE$ se encuentra con $\omega_2$ en $Q$ . Demuestra que $A,P,Q$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A=60^{\circ}$ . Sean $E,F$ los pies de las alturas que pasan por $B,C$ respectivamente. Demuestra que $CE-BF=\tfrac{3}{2}(AC-AB)$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A=60^{\circ}$ . Sean $E,F$ los pies de las alturas que pasan por $B,C$ respectivamente. Demuestra que $CE-BF=\tfrac{3}{2}(AC-AB)$

$P_1,P_2,\ldots,P_{100}$ son $100$ puntos en el plano, no tres de ellos son colineales. Para cada tres puntos, llame a su triángulo en el sentido de las agujas del reloj si el orden creciente de ellos está en el sentido de las agujas del reloj. ¿Puede el número de triángulos en el sentido de las agujas del reloj ser exactamente $2017$ ?

En el pentágono regular $ABCDE$ , la perpendicular en $C$ a $CD$ se encuentra con $AB$ en $F$ . Demuestra que $AE+AF=BE$ .