Los círculos $C$ y $D$ de la figura se intersectan en $A$ y $B$. El diámetro $CA$ de $C$ es tangente a $D$ en $A$, y $D$ es el punto en $D$ tal que $C$, $B$ y $D$ están alineados. Si $|BD| = 3$ y $|AC| = 2$, ¿cuál es el área de $D$? [image]

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $ab + c = 34$ y $a + bc = 29$.

El número que abre un candado está formado por 4 dígitos distintos. ¿Cuál es el número si cada uno de los números siguientes tiene una cifra incorrecta y otra fuera de su lugar? $6427 \quad 4271 \quad 6412 \quad 2671$

El área del triángulo $ABC$ es igual a $40 ext{ cm}^2$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ cumplen que $BD = 3AD$, $CE = 3BE$ y $AF = 3CF$. ¿Cuál es el área del triángulo $DEF?$ [image]

¿De cuántas formas es posible llegar del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si sólo se puede ir hacia abajo y hacia los lados (es decir, en las direcciones marcadas por las flechas en el esquema) pero sin pasar dos veces por el mismo punto? [image]

Una sucesión de números enteros positivos consecutivos se llama balanceada si contiene la misma cantidad de múltiplos de $3$ que de múltiplos de $5$. ¿Cuál es la máxima cantidad de términos que puede tener una sucesión balanceada?

Un papel cuadriculado de $4 \times 7$ como el que se muestra a la derecha se va a cortar con unas tijeras siguiendo algunas líneas de la cuadrícula. Se va a empezar en el borde inferior y se terminará en el borde superior, siempre hacia arriba y hacia los lados pero no hacia abajo, y no es válido empezar (ni terminar) por un lado. ¿De cuántas formas es posible hacerlo si las dos partes deben quedar con la misma área? (Nota: Por ejemplo, un corte como el que se muestra abajo a la izquierda es válido, pero el central y el de la derecha no lo son.) [image]

Romeo no se acuerda del número secreto de su caja fuerte. Sólo recuerda que es un número de 7 cifras, que usa cada uno de los dígitos $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez, y que es el menor número que cumple que la suma de cada 3 cifras consecutivas no es múltiplo ni de 2 ni de 3. ¿Cuál es el número secreto de su caja fuerte?

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ es un triángulo equilátero. La recta $DE$ corta a $BC$ en $F$, y $G$ es el punto sobre $EB$ para el cual $GF$ y $DF$ son perpendiculares. Probar que $FG$ y $EC$ miden lo mismo. [image]

Algunos de los hexágonos de la figura que se muestra abajo a la izquierda se sombrean. Luego, en cada uno de los hexágonos se pone la cantidad de hexágonos sombreados que comparten al menos un lado con ese hexágono, y se considera la suma de todos los números (ver el ejemplo en la figura de la derecha en que la suma es $12 = 1+2+3+1+3+0+1+1+0$). ¿De cuántas formas es posible sombrear algunos de los hexágonos de tal forma que la suma sea $12$? [image]