Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tales que $x,y\in \mathbb{R}^{+},$ \n$ f\left(\frac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\frac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y) $

Sean $m,n\in \mathbb{N}$ y $p(x),q(x),h(x)$ polinomios con coeficientes reales tales que $p(x)$ es descendente. Y para todo $x\in \mathbb{R}$ $p(q(nx+m)+h(x))=n(q(p(x))+h(x))+m$. Pruebe que no existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $x\in \mathbb{R}$ $f(q(p(x))+h(x))=f(x)^{2}+1$.

¿Existe una función $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que\n$i) \exists n\in \mathbb{N}:f(n)\neq n$\n$ii)$ el número de divisores de $m$ es $f(n)$ si y solo si el número de divisores de $f(m)$ es $n$?

La circunferencia inscrita de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC,AC,AB$ en $A_{1},B_{1},C_{1}$. Sean $AI,BI,CI$ se encuentran con $BC,AC,AB$ en $A_{2},B_{2},C_{2}$. Sea $A'$ un punto en $AI$ tal que $A_{1}A'\perp B_{2}C_{2}$. $B',C'$ respectivamente. Pruebe que dos triángulos $A'B'C',A_{1}B_{1}C_{1}$ son iguales.

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para infinitos valores racionales de $x$, la fracción $\frac{f(x)}{g(x)}$ es racional. Demuestre que $\frac{f(x)}{g(x)}$ puede escribirse como la razón de dos polinomios con coeficientes racionales.

Demuestre que si $D_1$ y $D_2$ son dos líneas alabeadas, entonces hay infinitas líneas rectas tales que sus puntos tienen la misma distancia de $D_1$ y $D_2.$

$G$ es un grafo con $n$ vértices $A_1,A_2,\ldots,A_n,$ tal que para cada par de vértices no adyacentes $A_i$ y $A_j$ , existe otro vértice $A_k$ que es adyacente tanto a $A_i$ como a $A_j$. (a) Encuentre el número mínimo de aristas en dicho grafo. (b) Si $n = 6$ y $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,$ y $A_6$ forman un ciclo de longitud $6,$ encuentre el número de aristas que deben agregarse a este ciclo para que se cumpla la condición anterior.

Sean $n, r$ enteros positivos. Encuentre el entero positivo más pequeño $m$ que satisface la siguiente condición. Para cada partición del conjunto $\{1, 2, \ldots ,m \}$ en $r$ subconjuntos $A_1,A_2, \ldots ,A_r$, existen dos números $a$ y $b$ en algún $A_i, 1 \leq i \leq r$, tales que \[ 1 < \frac ab < 1 +\frac 1n.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con lados y área iguales a $a, b, c$ y $S$ respectivamente. Pruebe o refute que una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$ tal que la distancia entre $P$ y los vértices de $ABC$ sea igual a $x, y$ y $z$ respectivamente es que haya un triángulo con lados $a, y, z$ y área $S_1$, un triángulo con lados $b, z, x$ y área $S_2$ y un triángulo con lados $c, x, y$ y área $S_3$ donde $S_1 + S_2 + S_3 = S.$

Suponga que $p$ es un número primo y es mayor que $3$. Demuestre que $7^{p}-6^{p}-1$ es divisible por $43$.