Semifinal Estatal OMM 2015 Problema 2
Sabemos que por tres puntos cualesquiera no alineados en el espacio hay un único plano que los contiene. ¿Cuántos planos distintos determinan las tercias de vértices de un cubo? (Por ejemplo, en el cubo de la derecha, la tercia de vértices $\\{1, 2, 3\\}$ determina el mismo plano que la tercia $\\{1, 3, 4\\}$ pero la tercia $\\{3, 6, 8\\}$ determina un plano distinto.) [image]
Semifinal Estatal OMM 2015 Problema 1
Tres números enteros $x$, $y$, $z$ entre 1 y 9 se juntan como dígitos para formar los números $yx$, $yz$ y $zx$ (por ejemplo, si $x = 5$ y $y = 1$, entonces $yx$ es el número quince). La suma de estos nuevos números es el número $xyz$ de tres dígitos. Determinar todas las posibilidades para $x$, $y$ y $z$.
Semifinal Estatal OMM 2015 Problema 4
Se escriben en el pizarrón 5 números enteros positivos (no necesariamente distintos) y se calculan todas las posibles sumas de parejas de estos números. Los únicos resultados que se obtienen son 31, 38 y 45 (algunos de ellos, varias veces). ¿Cuáles son los 5 números?
Semifinal Estatal OMM 2015 Problema 3
El paralelogramo $ABCD$ de la derecha tiene área 20 y cada lado mide 5 (es decir, es un rombo); $M$ es punto medio de $AB$, $P$ es punto medio de $MC$ y $E$ es el punto donde la perpendicular a $BC$ por $C$ corta a $AD$. ¿Cuánto vale el área de $APE$? [image]
Semifinal Estatal OMM 2015 Problema 5
La estrella de la figura está formada por 99 triangulitos. El número total de vértices (marcados con •) es 73. Se desea sombrear algunos triangulitos de manera que cada vértice quede en algún triangulito sombreado. ¿Cuál es el mínimo número de triangulitos que deben sombrearse. [image]
Semifinal Estatal OMM 2014 Problema 2
¿Cuánto valen los enteros positivos $a, b, c$ si cumplen la siguiente ecuación? \[ a + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{25}{19} \]
Semifinal Estatal OMM 2014 Problema 1
Se escriben de menor a mayor todos los números que se pueden formar revolviendo los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ¿Cuál es el último de la primera mitad?
Semifinal Estatal OMM 2014 Problema 4
En la figura se muestra un triángulo $ABC$ en el que $|AB| = 6$, $|AC| = 8$ y $|BC| = 10$. Además $M$ es el punto medio de $BC$, $AMDE$ es un cuadrado y $F$ es el punto de intersección de $MD$ con $AC$. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $AFDE$? [image]
Semifinal Estatal OMM 2014 Problema 3
Se tiene un conjunto $X$ de 6 números enteros. Se sabe que de todas las posibles colecciones de 3 elementos distintos de $X$, exactamente la mitad tiene sus tres elementos pares. ¿Cuántos enteros pares hay en $X$?
Semifinal Estatal OMM 2014 Problema 5
En la cuadrícula que se muestra aparecen escritos los números 1 y 19. Determinar de cuántas formas es posible poner números enteros en los cuadros vacíos si en cada renglón los números van en orden creciente de izquierda a derecha, en cada columna los números van en orden creciente de arriba a abajo, y se cumple que en cada tres cuadros consecutivos en el mismo renglón o en la misma columna, el número que aparece en medio es el promedio de los otros dos. [image]