Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construya tres semicírculos, cada uno con un lado distinto de ABC como diámetro, y en el exterior de $ABC$ . Las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a los lados opuestos intersecan estos semicírculos en los puntos $E,F,G$ , respectivamente. Demuestre que el hexágono $AGBECF$ puede doblarse de modo que forme una pirámide con base $ABC$ .

¿Existe un entero $z$ que pueda escribirse de dos maneras diferentes como $z = x! + y!$, donde $x, y$ son números naturales con $x \le y$? Amir

C1 Un conjunto $S$ se llama vecino si tiene las siguientes dos propiedades: a) $S$ tiene exactamente cuatro elementos b) para todo elemento $x$ de $S$ , al menos uno de los números $x - 1$ o $x+1$ pertenece a $S$ . Halle el número de todos los subconjuntos vecinos del conjunto $\{1,2,... ,n\}$ .

El mismo que en Fall 2021, Senior A-Level

5 Sea $S$ un subconjunto de tamaño $68$ de $\{1,2,...,2015\}$ . Demuestre que existen $3$ subconjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos $A,B,C$ tales que $|A|=|B|=|C|$ y $\sum_{a\in A}a=\sum_{b\in B}b=\sum_{c\in C}c$

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = 8$ . Demuestre que $\frac{ab + 4}{a + 2}+\frac{bc + 4}{b + 2}+\frac{ca + 4}{c + 2}\ge 6$ .

1 Considera un arco \(AB\) de una circunferencia \(C\) y un punto \(P\) variable en ese arco \(AB\). Sea \(D\) el punto medio del arco \(AP\) que no contiene a \(B\), y sea \(E\) el punto medio del arco \(BP\) que no contiene a \(A\). Sea \(C_1\) la circunferencia con centro \(D\) que pasa por \(A\), y \(C_2\) la circunferencia con centro \(E\) que pasa por \(B\). Demuestra que la recta que contiene los puntos de intersección de \(C_1\) y \(C_2\) pasa por un punto fijo.

72 A cada par $ (x, y)$ de elementos distintos de un conjunto finito $ X$ se le asigna un número $ f(x, y)$ igual a 0 o 1 de tal manera que $ f(x, y) \neq f(y, x)$ $ \forall x,y$ y $ x \neq y.$ Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) $ X$ es la unión de dos subconjuntos no vacíos disjuntos $ U, V$ tales que $ f(u, v) = 1$ $ \forall u \in U, v \in V.$ (ii) Los elementos de $ X$ pueden etiquetarse $ x_1, \ldots , x_n$ de modo que \[ f(x_1, x_2) = f(x_2, x_3) = \cdots = f(x_{n-1}, x_n) = f(x_n, x_1) = 1.\] Formulación alternativa: En un torneo de n participantes, cada pareja juega un partido (sin empates). Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) La liga puede particionarse en dos grupos no vacíos tales que cada jugador de uno de estos grupos ha ganado contra cada jugador del otro. (ii) Todos los participantes pueden ser clasificados del 1 al $ n$ de modo que el jugador $ i-$ t h gana el partido contra el $ (i + 1)$ s t y el jugador $ n-$ t h gana contra el primero.

Sea $F$ un polígono cuyo contorno es una línea poligonal con vértices en los nudos (unidades) de una red cuadrada regular dada de antemano. Si $k$ es el número de nudos de la red situados sobre el contorno de $F$ , y $\ell$ es el número de nudos de la red situados dentro de $F$ , demuestre que si el área de cada cuadrado de la red es $1$ , entonces el área $S$ de $F$ se calcula con la fórmula: $$S=\frac k2+\ell-1$$ V. Chukanov

Para un entero positivo $n$ , sea $A_n$ el conjunto de cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros que satisfacen simultáneamente las siguientes propiedades: $0\le a\le c\le n,$ $0\le b\le d\le n,$ $c+d>n,$ y $bc=ad+1.$ Además, defina $$\alpha_n=\sum_{(a,b,c,d)\in A_n}\frac{1}{ab+cd}.$$ Halle todos los números reales $t$ tales que $\alpha_n>t$ para todo entero positivo $n$ .