Sea $f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ una función no decreciente y sea $n$ un número natural arbitrario. Suponga que existen números primos $p_1,p_2,\dots,p_n$ y números naturales $s_1,s_2,\dots,s_n$ tales que para cada $1\leq i\leq n$ el conjunto $\{f(p_ir+s_i)|r=1,2,\dots\}$ es una progresión aritmética infinita. Demuestre que existe un número natural $a$ tal que \[f(a+1), f(a+2), \dots, f(a+n)\] forman una progresión aritmética.

El incirculo del triangulo $ABC$ , es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. El reflejo de $F$ con respecto a $B$ y el reflejo de $E$ con respecto a $C$ son $T$ y $S$ respectivamente. Demuestra que el incentro del triangulo $AST$ esta dentro o en el incirculo del triangulo $ABC$ .

Considera el polinomio de segundo grado $x^2+ax+b$ con coeficientes reales. Sabemos que la condicion necesaria y suficiente para que este polinomio tenga raices en numeros reales es que su discriminante, $a^2-4b$ sea mayor o igual a cero. Note que el discriminante es tambien un polinomio con variables $a$ y $b$ . Demuestra que la misma historia no es cierta para polinomios de grado $4$ : Demuestra que no existe un polinomio de $4$ variables $P(a,b,c,d)$ tal que: El polinomio de cuarto grado $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ puede ser escrito como el producto de cuatro polinomios de grado $1$ si y solo si $P(a,b,c,d)\ge 0$ . (Todos los coeficientes son numeros reales.)

a) ¿Existen subconjuntos de $2$ elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de numeros naturales tales que cada numero natural aparece en exactamente uno de estos conjuntos y ademas para cada numero natural $n$ , la suma de los elementos de $A_n$ es igual a $1391+n$ ?\nb) ¿Existen subconjuntos de $2$ elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de numeros naturales tales que cada numero natural aparece en exactamente uno de estos conjuntos y ademas para cada numero natural $n$ , la suma de los elementos de $A_n$ es igual a $1391+n^2$ ?

Demuestra que si $t$ es un numero natural entonces existe un numero natural $n>1$ tal que $(n,t)=1$ y ninguno de los numeros $n+t,n^2+t,n^3+t,....$ son potencias perfectas.

Suponga que $n$ es un numero natural. ¿De cuantas maneras podemos colocar los numeros $1,2,....,n$ alrededor de un circulo tal que cada numero sea un divisor de la suma de sus dos numeros adyacentes?

Considera un circulo $C_1$ y un punto $O$ en el. El circulo $C_2$ con centro $O$ , interseca a $C_1$ en dos puntos $P$ y $Q$ . $C_3$ es un circulo que es tangente externamente a $C_2$ en $R$ y es tangente internamente a $C_1$ en $S$ y suponga que $RS$ pasa a traves de $Q$ . Suponga que $X$ e $Y$ son los segundos puntos de interseccion de $PR$ y $OR$ con $C_1$ . Demuestra que $QX$ es paralelo a $SY$ .

Considera los puntos de la retícula de una cuadrícula de $6*7$. Comenzamos con dos puntos $A,B$. Decimos que dos puntos $X,Y$ están conectados si uno puede reflejar varias veces con respecto a los puntos $A,B$ y llegar de $X$ a $Y$. Sobre todas las elecciones de $A,B$ ¿cuál es el número mínimo de componentes conectados?

Ali y Naqi están jugando un juego. Al principio, tienen el polinomio $P(x) = 1+x^{1398}$. Naqi comienza. En cada turno uno puede elegir un número natural $k \in [0,1398]$ en su turno, y agregar $x^k$ al polinomio. Por ejemplo después de 2 movimientos $P$ puede ser : $P(x) = x^{1398} + x^{300} + x^{100} +1$. Si después del turno de Ali, existe $t \in R$ tal que $P(t)<0$ entonces Ali pierde el juego. Demuestra que Ali puede jugar para siempre de alguna manera que nunca pierda el juego!

Considera un círculo con diámetro $AB$ y sean $C,D$ puntos en su circunferencia tales que $C,D$ no están en el mismo lado de $AB$. Considera la línea paralela a $AC$ que pasa por $D$ y sea $E$ su intersección con $AB$. Similarmente considera la línea paralela a $AD$ que pasa por $C$ y sea $F$ su intersección con $AB$. La línea perpendicular a $AB$ en $E$ intersecta a $BC$ en $X$ y la línea perpendicular a $AB$ en $F$ intersecta a $DB$ en $Y$. Demuestra que el perímetro del triángulo $AXY$ es dos veces $CD$. Observación: Se ha demostrado que este problema es incorrecto debido a un error tipográfico en los documentos del examen. Puedes encontrar la versión correcta aquí.