$x_1,x_2,...,x_n>1$ son números naturales y $n \geq 3$. Demuestra que: $(x_1x_2...x_n)^2 \ne x_1^3 + x_2^3 +...+x_n^3$

$ABC$ es un triángulo isósceles ($AB=AC$). El punto $X$ es un punto arbitrario en $BC$. $Z \in AC$ y $Y \in AB$ tal que $\angle BXY = \angle ZXC$. Una línea paralela a $YZ$ pasa por $B$ y corta a $XZ$ en $T$. Demuestra que $AT$ biseca a $\angle A$.

Tenemos un rectángulo con sus lados siendo un espejo. Un rayo de luz entra desde una de las esquinas del rectángulo y después de ser reflejado varias veces entra a la esquina opuesta desde donde comenzó. Demuestra que en algún momento el rayo de luz pasó por el centro del rectángulo (intersección de las diagonales).

Sea $c\in\mathbb C$ y $A_c = \{p\in \mathbb C[z]|p(z^2 + c) = p(z)^2 + c\}$ . a) Demuestre que para cada $c\in C$ , $A_c$ es infinito. b) Demuestre que si $p\in A_1$ , y $p(z_0) = 0$ , entonces $ |z_0| < 1.7$ . c) Demuestre que cada elemento de $A_c$ es par o impar. Sea $f_c = z^2 + c\in \mathbb C[z]$ . Vemos fácilmente que $B_c: = \{z,f_c(z),f_c(f_c(z)),\dots\}$ es un subconjunto de $A_c$ . Demuestre que en los siguientes casos $A_c = B_c$ . d) $ |c| > 2$ . e) $ c\in \mathbb Q\backslash\mathbb Z$ . f) $ c$ es un número no algebraico g) $ c$ es un número real y $ c\not\in [ - 2,\frac14]$.

Hay $n$ puntos en $\mathbb R^3$ tales que cada tres forman un triángulo acutángulo. Encuentre el máximo de $n$.

$S\subset\mathbb N$ se llama un conjunto cuadrado, si y solo si para cada $x,y\in S$ , $xy+1$ es el cuadrado de un entero. a) ¿Es $S$ finito? b) Encuentre el número máximo de elementos de $S$.

Los círculos $C_1,C_2$ se intersecan en $P$. Se dibuja una línea $\Delta$ arbitrariamente desde $P$ y se interseca con $C_1,C_2$ en $B,C$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $A$ tal que la mediana $AM$ del triángulo $ABC$ tiene una longitud fija $k$ ?

Sean $A,B,C,Q$ puntos fijos en el plano. $M,N,P$ son los puntos de intersección de $AQ,BQ,CQ$ con $BC,CA,AB$. $D',E',F'$ son los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con $BC,CA,AB$. Las tangentes dibujadas desde $M,N,P$ (no los lados del triángulo) al incírculo de $ABC$ forman el triángulo $DEF$. Demuestre que $DD',EE',FF'$ se intersecan en $Q$.

$A,B$ son puntos fijos. La línea variable $l$ pasa por el punto fijo $C$. Hay dos círculos que pasan por $A,B$ y son tangentes a $l$ en $M,N$. Demuestre que el circuncírculo de $AMN$ pasa por un punto fijo.

Encuentre todas las secuencias recursivas lineales homogéneas tales que haya un $T$ tal que $a_n=a_{n+T}$ para cada $n$.