Sean $O, H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ . $M,N$ son los puntos medios de $BH$ y $CH$ . $BB'$ es la diagonal del circuncírculo. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$ .

En cada cuadrado de $1\times1$ de una tabla de $m\times n$ hemos dibujado una de las dos diagonales. Demuestre que existe un camino que incluye estas diagonales, ya sea desde el lado izquierdo hasta el lado derecho, o desde el lado superior hasta el lado inferior.

Una secuencia de números reales $a_0,a_1,\dots,a_{1389}$ se llama cóncava si para cada $0<i<1389$ , $a_i\geq\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}2$ . Encuentre el $c$ más grande tal que para cada secuencia cóncava de números reales no negativos: \[\sum_{i=0}^{1389}ia_i^2\geq c\sum_{i=0}^{1389}a_i^2\]

Sea $ABC$ un triángulo isósceles y $BC>AB=AC$ . $D,M$ son respectivamente los puntos medios de $BC, AB$ . $X$ es un punto tal que $BX\perp AC$ y $XD||AB$ . $BX$ y $AD$ se encuentran en $H$ . Si $P$ es el punto de intersección de $DX$ y el circuncírculo de $AHX$ (distinto de $X$ ) , demuestre que la tangente desde $A$ al circuncírculo del triángulo $AMP$ es paralela a $BC$ .

Sin levantar el bolígrafo del papel, dibujamos un polígono de tal manera que de cada dos lados adyacentes uno de ellos es vertical. Además, al dibujar el polígono, todos los lados verticales se han dibujado de arriba hacia abajo. Demuestre que este polígono se ha cortado a sí mismo.

Sea $M$ un punto arbitrario en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . $W$ es un círculo que es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$ y es tangente al circuncírculo de $AMC$ en $P$ . Demuestre que si $TK||AM$ , los circuncírculos de $APT$ y $KPC$ son tangentes entre sí.

Los círculos $W_1,W_2$ se intersecan en $P,K$ . $XY$ es la tangente común de dos círculos que está más cerca de $P$ y $X$ está en $W_1$ e $Y$ está en $W_2$ . $XP$ interseca a $W_2$ por segunda vez en $C$ e $YP$ interseca a $W_1$ en $B$ . Sea $A$ el punto de intersección de $BX$ y $CY$ . Demuestre que si $Q$ es el segundo punto de intersección de los circuncírculos de $ABC$ y $AXY$ \[\angle QXA=\angle QKP\]

$S,T$ son dos árboles sin vértices de grado 2. A cada arista se le asocia un número positivo que se llama longitud de esta arista. La distancia entre dos vértices arbitrarios $v,w$ en este grafo se define por la suma de la longitud de todas las aristas en el camino entre $v$ y $w$ . Sea $f$ una función biyectiva de las hojas de $S$ a las hojas de $T$ , tal que para cada dos hojas $u,v$ de $S$ , la distancia de $u,v$ en $S$ es igual a la distancia de $f(u), f(v)$ en $T$ . Demuestre que existe una función biyectiva $g$ de los vértices de $S$ a los vértices de $T$ tal que para cada dos vértices $u,v$ de $S$ , la distancia de $u,v$ en $S$ es igual a la distancia de $g(u)$ y $g(v)$ en $T$ .

Encuentre todos los polinomios de dos variables $p(x,y)$ tales que para cada $a,b,c\in\mathbb R$ : \[p(ab,c^2+1)+p(bc,a^2+1)+p(ca,b^2+1)=0\]

Encuentre todas las funciones no decrecientes $f:\mathbb R^+\cup\{0\}\rightarrow\mathbb R^+\cup\{0\}$ tales que para cada $x,y\in \mathbb R^+\cup\{0\}$ \[f\left(\frac{x+f(x)}2+y\right)=2x-f(x)+f(f(y)).\]