Dos cuadrados idénticos que tienen una longitud de lado de $ 5\text{cm} $ se dividen cada uno por separado en $ 5 $ regiones a través de la intersección con algunas líneas. Demuestra que podemos colorear las regiones del primer cuadrado con cinco colores y las regiones del segundo con los mismos cinco colores de tal manera que la suma de las áreas de las regiones resultantes que tienen los mismos colores al superponer los dos cuadrados sea al menos $ 5\text{cm}^2. $

Sean $ D,E,F $ los pies de las bisectrices interiores desde $ A,B, $ respectivamente $ C, $ y sean $ A',B',C' $ los puntos simétricos de $ A,B, $ respectivamente, $ C, $ a $ D,E, $ respectivamente $ F, $ tales que $ A,B,C $ se encuentran en $ B'C',A'C', $ respectivamente, $ A'B'. $ Demuestra que el $ ABC $ es equilátero.

Sea una potencia natural de dos. Encuentra el número de números equivalentes con $ 1 $ módulo $ 3 $ que lo dividen.

Sea un número natural $ n\ge 2, n $ números reales $ b_1,b_2,\ldots ,b_n , $ y $ n-1 $ números reales positivos $ a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1} $ tales que $ a_1+a_2+\cdots +a_{n-1} =1. $ Demuestra la desigualdad $$ b_1^2+\frac{b_2^2}{a_1} +\frac{b_3^2}{a_2} +\cdots +\frac{b_n^2}{a_{n-1}} \ge 2b_1\left( b_2+b_3+\cdots +b_n \right) , $$ y especifica cuando se alcanza la igualdad.

Sea un triángulo $ ABC, $ y tres puntos $ A',B',C' $ en los segmentos $ BC,CA, $ respectivamente, $ AB, $ tales que las líneas $ AA',BB',CC' $ son concurrentes en $ M. $ Nombra $ a,b,c,x,y,z $ las áreas de los triángulos $ AB'M,BC'M,CA'M,AC'M,BA'M, $ respectivamente, $ CB'M. $ Demuestra que: a) $ abc=xyz $ b) $ ab+bc+ca=xy+yz+zx $

Encuentra todos los números reales $ a $ tales que $ x,y>a\implies x+y+xy>a. $

En un área urbana cuyo plano de calles es una cuadrícula, una persona comenzó a caminar desde una intersección y giró a la derecha o a la izquierda en cada intersección a la que llegaba hasta que terminó en la misma intersección inicial. a) Demuestra que el número de intersecciones (no necesariamente distintas) en las que estuvo es equivalente a $ 1 $ módulo $ 4. $ b) Enuncie y pruebe una declaración recíproca.

Resuelva en naturales la ecuación $9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$

Sobre la hipotenusa $ BC $ de un triángulo rectángulo isósceles $ ABC $ sean $ M,N $ tales que $ BM^2-MN^2+NC^2=0. $ Demuestra que $ \angle MAN= 45^{\circ } . $

Sea un número real $ a. $ Para cualquier número real $ p $ y número natural $ k, $ sea el conjunto $$ A_k(p)=\{ px\in\mathbb{Z}\mid k=\lceil x \rceil \} . $$ Encuentra todos los números reales $ b $ tales que $ \# A_n(a)=\# A_n(b) , $ para cualquier número natural $ n. $ $ \# $ denota el cardinal.