2 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos del plano. Suponga que no hay tres puntos de $\mathcal S$ colineales. Un molino de viento es un proceso que comienza con una recta $\ell$ que pasa por un único punto $P \in \mathcal S$ . La recta rota en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la recta encuentra algún otro punto perteneciente a $\mathcal S$ . Este punto, $Q$ , toma el relevo como nuevo pivote, y la recta ahora rota en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de $Q$ , hasta que encuentra a continuación un punto de $\mathcal S$ . Este proceso continúa indefinidamente. Muestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una recta $\ell$ que pase por $P$ tales que el molino de viento resultante usa cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces. Propuesto por Geoffrey Smith, Reino Unido Amir

4 Sea $n > 0$ un entero. Se nos da una balanza y $n$ pesas de peso $2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}$ . Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de tal manera que el platillo derecho nunca sea más pesado que el platillo izquierdo. En cada paso elegimos una de las pesas que aún no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos en el platillo izquierdo o en el platillo derecho, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determine el número de maneras en que esto puede hacerse. Propuesto por Morteza Saghafian, Irán Amir

5 Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$ , la diferencia $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m- n)$ . Demuestre que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$ , el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$ . Propuesto por Mahyar Sefidgaran, Irán

6 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotamos por $\deg(P)$ su grado, que es $\geq 1.$ Sea $n(P)$ el número de todos los enteros $k$ para los cuales tenemos $(P(k))^{2}=1.$ Demuestre que $n(P)- \deg(P) \leq 2.$

5 Dentro de un cuadrado de lado $ 1$ hay finitamente muchos discos a los que se les permite superponerse. La suma de todas las circunferencias es $ 10$ . Demuestre que hay una recta que interseca o toca al menos $ 4$ discos.

1 El paralelogramo $ABCD$ tiene $AB=a,AD=1,$ $\angle BAD=A$ , y el triángulo $ABD$ tiene todos sus ángulos agudos. Demuestre que los círculos de radio $1$ y centro $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y solo si \[a\le\cos A+\sqrt3\sin A.\]

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$ , y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las rectas obtenidas al reflejar $\ell$ respecto a las rectas $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Muestre que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$ . Propuesto por Japón

A1 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $\min(ab,bc,ca) \ge 1$ . Demuestre que $$\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} \le \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2 + 1.$$ Propuesto por Tigran Margaryan, Armenia

A2 Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

20 Sean $a,b,A,B$ reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Demuestre que si para cualquier número real $x$ se tiene $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$