1 Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un número primo. Demuestre que si $a$ , $b$ , $c$ son enteros (no necesariamente positivos) que satisfacen las ecuaciones \[ a^n + pb = b^n + pc = c^n + pa\] entonces $a = b = c$ . Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

2 Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ enteros positivos distintos, $ n\ge 3$ . Demuestre que existen índices distintos $ i$ y $ j$ tales que $ a_i + a_j$ no divide a ninguno de los números $ 3a_1$ , $ 3a_2$ , $ \ldots$ , $ 3a_n$ . Propuesto por Mohsen Jamaali, Irán

3 Sea $ a_0$ , $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ una sucesión de enteros positivos tal que el máximo común divisor de cualesquiera dos términos consecutivos es mayor que el término precedente; en símbolos, $ \gcd (a_i, a_{i + 1}) > a_{i - 1}$ . Demuestre que $ a_n\ge 2^n$ para todo $ n\ge 0$ . Propuesto por Morteza Saghafian, Irán

4 Sea $ n$ un entero positivo. Muestre que los números \[ \binom{2^n - 1}{0},\; \binom{2^n - 1}{1},\; \binom{2^n - 1}{2},\; \ldots,\; \binom{2^n - 1}{2^{n - 1} - 1}\] son congruentes módulo $ 2^n$ con $ 1$ , $ 3$ , $ 5$ , $ \ldots$ , $ 2^n - 1$ en algún orden. Propuesto por Duskan Dukic, Serbia

1 Halle todos los triángulos cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos y uno de cuyos ángulos es el doble de otro.

2 Demuestre que un tetraedro con solo una arista de longitud mayor que $1$ tiene volumen a lo sumo $ \frac{1}{8}.$

2 Sea $f(x)=\cos(a_1+x)+{1\over2}\cos(a_2+x)+{1\over4}\cos(a_3+x)+\ldots+{1\over2^{n-1}}\cos(a_n+x)$ , donde los $a_i$ son constantes reales y $x$ es una variable real. Si $f(x_1)=f(x_2)=0$ , demuestre que $x_1-x_2$ es un múltiplo de $\pi$ .

5 a) En cada casilla de un tablero de $7\times 7$ se escribe uno de los números: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ o $7$, de modo que cada número esté escrito en siete casillas distintas. ¿Es posible que en ninguna fila y en ninguna columna estén escritos números consecutivos? b) En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ se escribe uno de los números: $1, 2, 3, 4$ o $5$, de modo que cada uno esté escrito en cinco casillas distintas. ¿Es posible que en ninguna fila y en ninguna columna estén escritos números consecutivos?

5 Para todo $ n\in\mathbb{N}$ sea $ d(n)$ el número de divisores (positivos) de $ n$ . Halle todas las funciones $ f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: $ d\left(f(x)\right) = x$ para todo $ x\in\mathbb{N}$ . $ f(xy)$ divide a $ (x - 1)y^{xy - 1}f(x)$ para todo $ x$ , $ y\in\mathbb{N}$ . Propuesto por Bruno Le Floch, Francia

1 El punto $O$ está en el interior de $\triangle ABC$ . Los pies de las perpendiculares trazadas desde $O$ a $BC,CA,AB$ son $D,E,F$ . Las perpendiculares trazadas desde $A$ y $B$ respectivamente a $EF$ y $FD$ se cortan en $P$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $AB$ . Demuestre que $D,E,F,H$ son concíclicos.