A5 Considere fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe una fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Muestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

A7 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $f(0)\neq 0$ y para todo $x,y\in\mathbb{R}$ , \[ f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}. \]

A8 Halle la mayor constante real $a$ tal que para todo $n \geq 1$ y para todos los números reales $x_0, x_1, ... , x_n$ que satisfacen $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ se tiene \[\frac{1}{x_1-x_0} + \frac{1}{x_2-x_1} + \dots + \frac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \frac{2}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \dots + \frac{n+1}{x_n} \right)\]

A6 La ecuación $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ está escrita en la pizarra, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ para el cual es posible borrar exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales de modo que quede al menos un factor en cada lado y la ecuación resultante no tenga soluciones reales?

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$ , y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las rectas obtenidas al reflejar $\ell$ respecto a las rectas $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Muestre que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$ . Propuesto por Japón

6 Hay algunos jugadores en un torneo de ping pong, donde cada $2$ jugadores juegan entre sí a lo sumo una vez. Dado: (1) Cada jugador gana al menos a $a$ jugadores, y pierde contra al menos $b$ jugadores. ( $a,b\geq 1$ ) (2) Para cualesquiera dos jugadores $A,B$ , existen algunos jugadores $P_1,...,P_k$ ( $k\geq 2$ ) (donde $P_1=A$ , $P_k=B$ ) , tales que $P_i$ le gana a $P_{i+1}$ ( $i=1,2...,k-1$ ) . Demuestre que existen $a+b+1$ jugadores distintos $Q_1,...Q_{a+b+1}$ , tales que $Q_i$ le gana a $Q_{i+1}$ ( $i=1,...,a+b$ )

1 Para un entero positivo $n$ y un subconjunto no vacío $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , llamamos a $A$ bueno si el conjunto $\{u\pm v|u,v\in A\}$ no contiene al conjunto $\{1,2,...,n\}$ . Halle el menor número real $c$ tal que, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier subconjunto bueno $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , se tenga $|A|\leq cn$ .

C1 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ , y se los anuncia al líder adjunto y a un concursante. Luego, el líder le dice en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) Al concursante se le permite mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de intentos (en términos de $n$ y $k$ ) necesario para garantizar la respuesta correcta?

C2 Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales todos los divisores positivos de $n$ pueden colocarse en las celdas de una tabla rectangular bajo las siguientes restricciones: cada celda contiene un divisor distinto; las sumas de todas las filas son iguales; y las sumas de todas las columnas son iguales.

1 Sean $a_j$, $b_j$, $c_j$ enteros para $1 \le j \le N$. Supón que para cada $j$, al menos uno de $a_j$, $b_j$, $c_j$ es impar. Demuestra que existen enteros $r, s, t$ tales que $ra_j+sb_j+tc_j$ es impar para al menos $\tfrac{4N}{7}$ valores de $j$, con $1 \le j \le N$.