Llamamos al polinomio $S(x)\in\mathbb{R}[x]$ sadeh cuando es divisible por $x$ pero no divisible por $x^2$ . Para el polinomio $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ sabemos que existe un polinomio sadeh $Q(x)$ tal que $P(Q(x))-Q(2x)$ es divisible por $x^2$ . Demostrar que existe un polinomio sadeh $R(x)$ tal que $P(R(x))-R(2x)$ es divisible por $x^{1401}$ .

El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ y los puntos $E$ y $F$ son respectivamente los pies perpendiculares de $M$ a los lados $AC$ y $AB$ . Los puntos $X$ e $Y$ se encuentran en el plano tales que $\triangle XEC\sim\triangle CEY$ y $\triangle BYF\sim\triangle XBF$ (Los vértices de los triángulos con este orden se corresponden en las similitudes) y los puntos $E$ y $F$ no [tampoco] se encuentran en la línea $XY$ . Demostrar que $XY\perp AM$ .

Los puntos constantes $B$ y $C$ se encuentran en el círculo $\omega$ . El punto medio de $BC$ es nombrado $M$ por nosotros. Asumir que $A$ es un punto variable en $\omega$ y $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . Desde el punto $H$ trazamos una línea perpendicular a $MH$ para intersectar las líneas $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demostrar que con el movimiento de $A$ en $\omega$ , el ortocentro del triángulo $AXY$ también se mueve en un círculo.

Se asume el triángulo $ABC$. El punto $T$ es la segunda intersección de la simediana del vértice $A$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$ y el punto $D \neq A$ se encuentra en la línea $AC$ tal que $BA=BD$ . La línea que en $D$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ADT$ , interseca el circuncírculo del triángulo $DCT$ por segunda vez en $K$ . Demostrar que $\angle BKC = 90^{\circ}$ (La simediana del vértice $A$ , es la reflexión de la mediana del vértice $A$ a través de la bisectriz del ángulo de este vértice).

Demostrar que entre cualesquiera $9$ números reales distintos, existen $4$ números distintos $a,b,c,d$ tales que $$(ac+bd)^2\ge\frac{9}{10}(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

Ali tiene $100$ cartas con los números $1,2,\ldots,100$ . Ali y Amin juegan juntos. En cada paso, primero Ali elige una carta de las cartas restantes y Amin decide elegir esa carta para sí mismo o tirarla. En el caso de que elija la carta, no puede elegir la siguiente carta elegida por Amin, y tiene que tirarla. Esta acción se repite hasta que no quede ninguna carta para Ali. Amin quiere elegir cartas de tal manera que la suma del número de sus cartas se maximice y Ali quiere elegir cartas de tal manera que la suma del número de cartas de Amin se minimice. Encontrar el mayor valor de $k$ tal que Amin pueda jugar de tal manera que esté seguro de que la suma del número de sus cartas sea al menos igual a $k$ .

$a_1,a_2,\ldots$ es una secuencia de números enteros distintos de cero que para todo $n\in\mathbb{N}$ , si $a_n=2^\alpha k$ tal que $k$ es un entero impar y $\alpha$ es un entero no negativo entonces: $a_{n+1}=2^\alpha-k$ . Demostrar que si esta secuencia es periódica, entonces para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_{n+2}=a_n$ . (La secuencia $a_1,a_2,\ldots$ es periódica si y solo si existe un número natural $d$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_{n+d}=a_n$ )

Tenemos muchos subconjuntos de $\text{tres elementos}$ de un conjunto de $\text{1000 elementos}$. Sabemos que la unión de cada $5$ de ellos tiene al menos $12$ elementos. Encontrar el valor más posible para el número de estos subconjuntos.

En el triángulo $ABC$ , los puntos variables $D, E, F$ están en los lados [líneas] $BC, CA, AB$ respectivamente, de modo que el triángulo $DFE$ es similar al triángulo $ABC$ en este orden. Los circuncírculos de $BDF$ y $CDE$ intersecan respectivamente el circuncírculo de $ABC$ en $P$ y $Q$ por segunda vez. Demostrar que el circuncírculo de $DPQ$ pasa por un punto fijo.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para todo $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ $$f(x+f(y)+f(f(z)))=z+f(y+f(x))$$