Dados números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestre que \[\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no es un trapecio y cuyas diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente, y $\ell$ es la recta que pasa por $G$ paralela a $AB$. Los pies de las perpendiculares desde E sobre las rectas $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$, respectivamente. Demuestre que las rectas $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

Demuestre que: a) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que existe un cuadrado igual a la suma de los cuadrados de $n$ enteros positivos consecutivos (por ejemplo, $2$ es uno de esos números ya que $5^2=3^2+4^2$).\nb) Si $n$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y si $x$ es un número entero tal que $x^2+(x+1)^2+...+(x+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos enteros positivos $y$ tales que $y^2+(y+1)^2+...+(y+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto.

Dado un número entero positivo $n$, determine el número máximo de aristas que puede tener un grafo simple sobre $n$ vértices tal que no contenga ciclos de longitud par.

En el triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. Sea $X$ el pie de la altura del vértice $D$ en el lado $EF$ del triángulo $DEF$. Demuestre que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes en la recta de Euler del triángulo $DEF$.

Suponga que un cuadrado de lado $l$ está dentro de un cuadrado unitario y no contiene su centro. Demuestre que $l\le 1/2.$

Consideramos un poliedro que tiene exactamente dos vértices adyacentes con un número impar de aristas, y estos dos vértices están sobre la misma arista. Demostrar que para todos los enteros $n\geq 3$ existe una cara del poliedro con un número de lados no divisible por $n$ .

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ . Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todo $m,n\in \mathbb{N}$ el número $f^2(m)+f(n)$ es un divisor de $(m^2+n)^2$ .

Sea $n\geq 2$ un entero. Encontrar el valor real más pequeño $\rho (n)$ tal que para cualquier $x_i>0$ , $i=1,2,\ldots,n$ con $x_1 x_2 \cdots x_n = 1$ , la desigualdad \[ \sum_{i=1}^n \frac 1{x_i} \leq \sum_{i=1}^n x_i^r \] es verdadera para todo $r\geq \rho (n)$ .

En una mesa de ajedrez de $2004 \times 2004$ hay 2004 reinas tales que no hay dos que se ataquen entre sí. Demostrar que existen dos reinas tales que en el rectángulo en el cual el centro de los cuadrados en los que se encuentran las reinas son dos esquinas opuestas, tiene un semiperímetro de 2004.