a) Demostrar que existe una sucesión de dígitos $\{c_n\}_{n\geq 1}$ tal que para cada $n\geq 1$ no importa cómo intercalemos $k_n$ dígitos, $1\leq k_n\leq 9$ , entre $c_n$ y $c_{n+1}$ , la sucesión infinita así obtenida no representa la parte fraccionaria de un número racional. b) Demostrar que para $1\leq k_n\leq 10$ no existe tal sucesión $\{c_n\}_{n\geq 1}$ .

Sea $n\geq 0$ un entero y sea $p \equiv 7 \pmod 8$ un número primo. Demostrar que \[ \sum^{p-1}_{k=1} \left \{ \frac {k^{2^n}}p - \frac 12 \right\} = \frac {p-1}2 . \]

En las aristas de un poliedro convexo dibujamos flechas tales que desde cada vértice al menos una flecha está apuntando hacia adentro y al menos una está apuntando hacia afuera. Demostrar que existe una cara del poliedro tal que las flechas en sus aristas forman un circuito.

Sea $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(a+x) = f(x) - x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Sea $P$ un polígono (no necesariamente convexo) con $n$ vértices, tal que todos sus lados y diagonales son menores o iguales a 1 en longitud. Demostrar que el área del polígono es menor que $\dfrac {\sqrt 3} 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ 3 puntos en los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente, tales que los inradios de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ son iguales a la mitad del inradio del triángulo $ABC$ . Demostrar que $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ .

Sea $A_0A_1A_2A_3A_4A_5$ un hexágono convexo inscrito en un círculo. Definir los puntos $A_0'$ , $A_2'$ , $A_4'$ en el círculo, tales que \[ A_0A_0' \parallel A_2A_4, \quad A_2A_2' \parallel A_4A_0, \quad A_4A_4' \parallel A_2A_0 . \] Sean las rectas $A_0'A_3$ y $A_2A_4$ se intersecan en $A_3'$ , las rectas $A_2'A_5$ y $A_0A_4$ se intersecan en $A_5'$ y las rectas $A_4'A_1$ y $A_0A_2$ se intersecan en $A_1'$ . Demostrar que si las rectas $A_0A_3$ , $A_1A_4$ y $A_2A_5$ son concurrentes entonces las rectas $A_0A_3'$ , $A_4A_1'$ y $A_2A_5'$ también son concurrentes.

Una sucesión de números reales $\{a_n\}_n$ se llama una sucesión bs si $a_n = |a_{n+1} - a_{n+2}|$ , para todo $n\geq 0$ . Demostrar que una sucesión bs es acotada si y sólo si la función $f$ dada por $f(n,k)=a_na_k(a_n-a_k)$ , para todo $n,k\geq 0$ es la función nula.

Sean $m,n$ enteros coprimos, tales que $m$ es par y $n$ es impar. Demostrar que la siguiente expresión no depende de los valores de $m$ y $n$ : \[ \frac 1{2n} + \sum^{n-1}_{k=1} (-1)^{\left[ \frac{mk}n \right]} \left\{ \frac {mk}n \right\} . \]

Demostrar que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono.