Dos circunferencias $\omega_1,\omega_2$ se intersecan en $P,Q$. Una línea arbitraria que pasa por $P$ interseca a $\omega_1 , \omega_2$ en $A,B$ respectivamente. Otra línea paralela a $AB$ interseca a $\omega_1$ en $D,F$ y a $\omega_2$ en $E,C$ tal que $E,F$ están entre $C,D$. Sea $X\equiv AD\cap BE$ y $Y\equiv BC\cap AF$. Sea $R$ la reflexión de $P$ sobre $CD$. Demuestra que: a. $R$ está en $XY$. b. PR es la bisectriz de $\hat {XPY}$.

Las lámparas del pasillo se encienden con sólo cinco llaves. Cada llave está conectada a una o más lámparas. Al accionar cada llave, todas las lámparas conectadas también se encenderán. Sabemos que no hay dos llaves que tengan el mismo conjunto de lámparas conectadas entre sí. Al principio todas las lámparas están apagadas. Demuestra que alguien puede accionar sólo tres llaves para encender al menos dos lámparas.

Encuentra todas las funciones $f:\Bbb {R} \rightarrow \Bbb {R} $ tales que: $$f(x+y)f(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$$ para todos los reales $x, y $ .

Sean $a>k$ números naturales y $r_1<r_2<\dots r_n,s_1<s_2<\dots <s_n$ sucesiones de números naturales tales que: $(a^{r_1}+k)(a^{r_2}+k)\dots (a^{r_n}+k)=(a^{s_1}+k)(a^{s_2}+k)\dots (a^{s_n}+k)$ Demuestra que estas sucesiones son iguales.

Sea $n$ un número natural impar y $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números distintos por pares. Demuestra que alguien puede dividir la diferencia de estos números en dos conjuntos con suma igual. ($X=\{\mid x_i-x_j \mid | i<j\}$)

Sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$ en el trapecio isósceles $ABCD$ ($AB\parallel CD$, $BC=AD$). La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ interseca a $BC$ por segunda vez en $X$. El punto $Y$ está en $AX$ tal que $DY\parallel BC$. Demuestra que $\hat {YDA} =2.\hat {YCA}$ .

$ T$ es un subconjunto de $ {1,2,...,n}$ que tiene esta propiedad : para todo $ i,j \in T$ distintos, $ 2j$ no es divisible por $ i$ . Demuestra que : $ |T| \leq \frac {4}{9}n + \log_2 n + 2$

Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que \[ 3^{\dfrac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \equiv (-5)^{\dfrac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \pmod{2^{n+4}}. \]

Sea $ ABC$ un triángulo y $ AB\ne AC$ . $ D$ es un punto en $ BC$ tal que $ BA = BD$ y $ B$ está entre $ C$ y $ D$ . Sea $ I_{c}$ el centro del círculo que toca $ AB$ y las extensiones de $ AC$ y $ BC$ . $ CI_{c}$ intersecta la circunferencia circunscrita de $ ABC$ nuevamente en $ T$ . Si $ \angle TDI_{c} = \frac {\angle B + \angle C}{4}$ entonces encuentra $ \angle A$

En el triángulo $ABC$ , $D$ , $E$ y $F$ son los puntos de tangencia del incírculo con el centro de $I$ a $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Sea $M$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $EF$ . $P$ está en $DM$ tal que $DP = MP$ . Si $H$ es el ortocentro de $BIC$ , demuestra que $PH$ biseca $ EF$ .