Dado un número primo $p$ congruente con $1$ módulo $5$ tal que $2p+1$ también es primo, demuestre que existe una matriz de $0$s y $1$s que contiene exactamente $4p$ (respectivamente, $4p+2$) $1$s sin ninguna submatriz de la cual contenga exactamente $2p$ (respectivamente, $2p+1$) $1$s.

Dado un número entero positivo $k$, defina la función $f$ en el conjunto de todos los números enteros positivos a sí mismo por\n\[f(n)=\begin{cases}1, &\text{si }n\le k+1\\\nf(f(n-1))+f(n-f(n-1)), &\text{si }n>k+1\end{cases}\]\nDemuestre que la preimagen de cada número entero positivo bajo $f$ es un conjunto finito no vacío de enteros positivos consecutivos.

Dado un conjunto $L$ de rectas en posición general en el plano (no hay dos rectas en $L$ que sean paralelas, y no hay tres rectas que sean concurrentes) y otra recta $\ell$, demuestre que el número total de aristas de todas las caras en la disposición correspondiente, intersectadas por $\ell$, es a lo sumo $6|L|$.

Sea $n$ un número entero mayor que $2$, sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ sean $n$ números reales positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}=1\] y sea $k$ un número real mayor que $1$. Demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}+1}\ge\frac{n}{(n-1)^{k}+1}\] y determine los casos de igualdad.

Demuestre que hay infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene dos divisores positivos cuya diferencia es $n$.

Dado un triángulo $ABC$, sea $D$ el punto medio del lado $AC$ y sea $M$ el punto que divide el segmento $BD$ en la razón $1/2$; es decir, $MB/MD=1/2$. Los rayos $AM$ y $CM$ se encuentran con los lados $BC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Asuma que los dos rayos son perpendiculares: $AM\perp CM$. Demuestre que el cuadrángulo $AFED$ es cíclico si y solo si la mediana desde $A$ en el triángulo $ABC$ se encuentra con la recta $EF$ en un punto situado en el círculo $ABC$.

Sea $ABCD$ un cuadrángulo convexo tal que $AB=AC=BD$ (los vértices están etiquetados en orden circular). Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $O$, los círculos $ABC$ y $ADO$ se cortan nuevamente en el punto $P$, y las rectas $AP$ y $BC$ se cortan en el punto $Q$. Demuestre que los ángulos $COQ$ y $DOQ$ son iguales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en un punto $P$. Sea $Q$ el punto en la recta $BP$, diferente de $B$, tal que $PQ=BP$. Considere los paralelogramos $CAQR$ y $DBCS$. Demuestre que los puntos $C,Q,R,S$ se encuentran en un círculo.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo de área $1$, cuyos lados opuestos son paralelos. Las rectas $AB$, $CD$ y $EF$ se encuentran en parejas para determinar los vértices de un triángulo. Similarmente, las rectas $BC$, $DE$ y $FA$ se encuentran en parejas para determinar los vértices de otro triángulo. Demuestre que el área de al menos uno de estos dos triángulos es al menos $3/2$.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un miembro de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, la razón $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, la razón $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el tamaño máximo posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el número más pequeño de subconjuntos malos disjuntos por pares cuya unión es $S$.