Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle C=2\angle B$ y $\omega$ su circuncírculo. Una tangente desde $A$ a $\omega$ interseca a $BC$ en $E$. $\Omega$ es un círculo que pasa por $B$ que es tangente a $AC$ en $C$. Sea $\Omega\cap AB=F$. $K$ es un punto en $\Omega$ tal que $EK$ es tangente a $\Omega$ ($A,K$ no están en el mismo lado de $BC$). Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ (que no contiene a $A$). Pruebe que $AFMK$ es un cuadrilátero cíclico.

Si $0<a\leq b\leq c$ prueba que $$\frac{(c-a)^2}{6c}\leq \frac{a+b+c}{3}-\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$

Tenemos $n\ge3$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demostrar que es posible nombrarlos $P_1,P_2,\ldots,P_n$ tales que para todo $1<i<n$ , el ángulo $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1}$ es agudo.

Una cuadrícula de $m\times n$ está embaldosada con mosaicos de $2\times2$ y $1\times3$ (horizontal y vertical). Demostrar que el número de formas de elegir un rectángulo de $1\times2$ (horizontal y vertical) tal que una de sus celdas esté embaldosada con un mosaico de $2\times2$ y la otra celda esté embaldosada con un mosaico de $1\times3$ [horizontal y vertical] es un número par.

Para cada número natural $k$ encontrar el número mínimo $n$ tal que en cada torneo con $n$ vértices, existe un vértice con grado de entrada y grado de salida al menos $k$ . (Torneo es un grafo completo dirigido.)

Llamamos al número natural $m$ ziba , si todo número natural $n$ con la condición $1\le n\le m$ puede mostrarse como la suma de [algunos de] los divisores positivos y distintos de $m$ . Demostrar que existen infinitos números ziba de la forma $(k\in\mathbb{N})k^2+k+2022$.

Para dos números racionales $r,s$ decimos: $$r\mid s$$ siempre que exista $k\in\mathbb{Z}$ tal que: $$s=kr$$ ${ (a_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia creciente de números naturales coprimos por pares y ${ (b_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia de números naturales distintos. Asumir que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\mid\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{b_i}$$ Demostrar que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_n=b_n$ .

Asumir el número natural $n\ge2$ . Amin y Ali se turnan para jugar el siguiente juego: En cada paso, el jugador cuyo turno ha llegado elige el índice $i$ del conjunto $\{0,1,\cdots,n\}$ , de modo que ninguno de los dos jugadores haya elegido este índice en los turnos anteriores; también este jugador en este turno elige el número racional distinto de cero $a_i$ también. Ali realiza el primer turno. El juego termina cuando todos los índices $i\in\{0,1,\cdots,n\}$ fueron elegidos. Al final, a partir de los números elegidos se construye el siguiente polinomio: $$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ El objetivo de Ali es que el polinomio anterior tenga una raíz racional y el objetivo de Amin es evitar este asunto. Encontrar todo $n\ge2$ tal que Ali pueda jugar de tal manera que esté seguro, independientemente de cómo juegue Amin, de lograr su objetivo.

Demostrar que para el número natural $n$ es posible encontrar números complejos $\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n$ en el círculo unitario tales que $$\left\lvert\sum_{j=1}^{n}\omega_j\right\rvert=\left\lvert\sum_{j=1}^{n}\omega_j^2\right\rvert=n-1$$ si y solo si ocurre $n=2$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{N}$ : $$0\le y+f(x)-f^{f(y)}(x)\le1$$ donde $$f^n(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f}_{n}(x))\ldots)$$