Determine la constante real más pequeña $c$ tal que \[\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}x_j \right )^2\leq c\sum_{k=1}^{n}x_k^2\] para todos los enteros positivos $n$ y todos los números reales positivos $x_1,\cdots ,x_n$ .

Para cada entero positivo $n$ , sea $\sigma(n)$ la suma de todos los divisores positivos de $n$ ( $1$ y $n$ , inclusive). Demuestre que un entero positivo $n$ , que tiene como máximo dos factores primos distintos, satisface la condición $\sigma(n)=2n-2$ si y solo si $n=2^k(2^{k+1}+1)$ , donde $k$ es un entero no negativo y $2^{k+1}+1$ es primo.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, $AB = AC$ , y sean $M$ y $N$ puntos en los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle BAM=\angle CNM$ . Las líneas $AB$ y $MN$ se encuentran en $P$ . Demuestre que las bisectrices internas de los ángulos $BAM$ y $BPM$ se encuentran en un punto en la línea $BC$ .

Sea $f$ la función del conjunto de enteros positivos en sí mismo, definida por $f(1) = 1$ , $f(2n) = f(n)$ y $f(2n + 1) = f(n) + f(n + 1)$ . Demuestre que, para cualquier entero positivo $n$ , el número de enteros impares positivos $m$ tales que $f(m) = n$ es igual al número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y coprimos con $n$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que todos los enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$ son potencias de primos.

Sea $a$ un número real en el intervalo abierto $(0,1)$ . Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sea $f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f_n(x) = x+\frac{x^2}{n}$ . Demuestre que \[\frac{a(1-a)n^2+2a^2n+a^3}{(1-a)^2n^2+a(2-a)n+a^2}<(f_n \circ\ \cdots\ \circ f_n)(a)<\frac{an+a^2}{(1-a)n+a}\] donde hay $n$ funciones en la composición.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X$ , $Y$ , $Z$ puntos interiores en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que la imagen ampliada del triángulo $XYZ$ bajo una homotecia de factor $4$ desde su centroide cubre al menos uno de los vértices $A$ , $B$ , $C$ .

Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $S$ un conjunto finito que contiene más de $n+1$ elementos. Considere la colección de todos los conjuntos $A$ de subconjuntos de $S$ que satisfacen las siguientes dos condiciones:\n(a) Cada miembro de $A$ contiene al menos $n$ elementos de $S$ .\n(b) Cada elemento de $S$ está contenido en al menos $n$ miembros de $A$ .\nDetermine $\max_A \min_B |B|$ , cuando $B$ recorre todos los subconjuntos de $A$ cuyos miembros cubren $S$ , y $A$ recorre la colección anterior.

Sea $k$ un número natural distinto de cero y $m$ un número natural impar . Demuestre que existe un número natural $n$ tal que el número $m^n+n^m$ tiene al menos $k$ factores primos distintos.

Sea $A_0A_1A_2$ un triángulo escaleno. Encuentre el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros $X_0X_1X_2$ , tal que $A_k$ se encuentra en la línea $X_{k+1}X_{k+2}$ para cada $k=0,1,2$ (con índices tomados módulo $3$ ) .