Amy ha dividido un cuadrado en un número finito de rectángulos blancos y rojos, cada uno con lados paralelos a los lados del cuadrado. Dentro de cada rectángulo blanco, ella escribe su ancho dividido por su altura. Dentro de cada rectángulo rojo, ella escribe su altura dividida por su ancho. Finalmente, ella calcula $x$, la suma de estos números. Si el área total de blanco es igual al área total de rojo, determine el mínimo de $x$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con lados opuestos no paralelos. Sean $X$ e $Y$ las intersecciones de $AB,CD$ y $AD,BC$ respectivamente. Sea la bisectriz del ángulo $\angle AXD$ que interseca a $AD,BC$ en $E,F$ respectivamente, y sean las bisectrices del ángulo $\angle AYB$ que intersecan a $AB,CD$ en $G,H$ respectivamente. Pruebe que $EFGH$ es un paralelogramo.

Considere números de 70 dígitos con la propiedad de que cada uno de los dígitos $1,2,3,...,7$ aparece 10 veces en la expansión decimal de $n$ (y $8,9,0$ no aparecen). Demuestre que ningún número de esta forma puede dividir a otro número de esta forma.

Los círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ y se intersecan en $P$ y $Q$ . Una línea que pasa por $P$ interseca a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $A$ y $B$ , respectivamente, tal que $AB$ no es perpendicular a $PQ$ . Sea $X$ el punto en $PQ$ tal que $XA=XB$ y sea $Y$ el punto dentro de $AO_1 O_2 B$ tal que $AYO_1$ y $BYO_2$ son similares. Demuestre que $2\angle{O_1 AY}=\angle{AXB}$ .

Encuentre el $C \in \mathbb{R}$ más grande tal que $\frac{x+z}{(x-z)^2} +\frac{x+w}{(x-w)^2} +\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{y+w}{(y-w)^2} + \sum_{cyc} \frac{1}{x} \ge \frac{C}{x+y+z+w}$ donde $x,y,z,w \in \mathbb{R^+}$ .

Para un entero positivo fijo $k$ , demuestre que existen infinitos primos $p$ tales que existe un entero $w$ , donde $w^2-1$ no es divisible por $p$ , y el orden de $w$ en módulo $p$ es el mismo que el orden de $w$ en módulo $p^k$ .

En el triángulo $ABC$ , $\angle{BAC}=60^\circ$ y la circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas $PC$ y $QB$ se intersecan en $G$ . Sea $R$ el circunradio de $BGC$ . Encuentra el valor mínimo de $R/BC$ .

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $1 \leq k \leq n$ . Un conjunto de cartas numeradas del $1$ al $n$ se colocan al azar en una fila de izquierda a derecha. Una persona alterna entre realizar los siguientes movimientos: La carta más a la izquierda de la fila se mueve $k-1$ posiciones a la derecha mientras que las cartas en las posiciones $2$ a $k$ se mueven una posición a la izquierda. La carta más a la derecha de la fila se mueve $k-1$ posiciones a la izquierda mientras que las cartas en las posiciones $n-k+1$ a $n-1$ se mueven una posición a la derecha. Determina la probabilidad de que después de algunos movimientos las cartas terminen en orden del $1$ al $n$ , de izquierda a derecha.

Sea $n$ un entero positivo, con factorización prima $$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$ para primos distintos $p_1, \ldots, p_r$ y $e_i$ enteros positivos. Define $$rad(n) = p_1p_2\cdots p_r,$$ el producto de todos los factores primos distintos de $n$ . Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes racionales tales que existan infinitos enteros positivos $n$ con $P(n) = rad(n)$ .

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Determina el número de $n$ - tuplas $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tales que $x_k \in \{0, 1, 2\}$ para $1 \leq k \leq n$ y $\sum_{k = 1}^n x_k - \prod_{k = 1}^n x_k$ es divisible por $3$ .