Sea $n \ge 2$ un entero. Demuestre que existen $n+1$ números $x_1, x_2, \ldots, x_{n+1} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ , de modo que $\{ x_1^3 \} + \{ x_2^3 \} + \cdots + \{ x_n^3 \}=\{ x_{n+1}^3 \}$ , donde $\{ x \}$ es la parte fraccionaria de $x$ .

Sea $ABC$ un triángulo, sean ${A}'$ , ${B}'$ , ${C}'$ las proyecciones ortogonales de los vértices $A$ , $B$ , $C$ sobre las líneas $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente, y sea $X$ un punto en la línea $A{A}'$ . Sea $\gamma_{B}$ el círculo que pasa por $B$ y $X$ , centrado en la línea $BC$ , y sea $\gamma_{C}$ el círculo que pasa por $C$ y $X$ , centrado en la línea $BC$ . El círculo $\gamma_{B}$ se encuentra con las líneas $AB$ y $B{B}'$ nuevamente en $M$ y ${M}'$ , respectivamente, y el círculo $\gamma_{C}$ se encuentra con las líneas $AC$ y $C{C}'$ nuevamente en $N$ y ${N}'$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M$ , ${M}'$ , $N$ y ${N}'$ son colineales.

Determina todos los enteros no negativos $n$ para los cuales existen dos enteros no negativos $x$ e $y$ relativamente primos y un entero positivo $k\geqslant 2$ tal que $3^n=x^k+y^k$ .

Determina todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ para los cuales un rectángulo de $m\times n$ puede ser embaldosado con trominos en forma de L (posiblemente rotados).

Por el punto medio $M$ del lado $BC$ del triángulo $ABC$ pasa una línea que interseca los rayos $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente, tales que $AD=AE$ . Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre $BC$ y $P{}$ el circuncentro del triángulo $ADE$ . Demuestra que $PF=PM$ .

Sea $x>1$ un número real que no es un entero. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , sea $a_n=\lfloor x^{n+1}\rfloor - x\lfloor x^n\rfloor$ . Demuestra que la secuencia $(a_n)$ no es periódica.

Considera un sistema de coordenadas en el plano, con el origen $O$ . Llamamos a un punto reticular $A{}$ oculto si el segmento abierto $OA$ contiene al menos un punto reticular. Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ existe un cuadrado de lado $n$ tal que cualquier punto reticular que se encuentre en su interior o en su frontera está oculto.

Sea $X$ un conjunto finito con $n\geqslant 3$ elementos y sean $A_1,A_2,\ldots, A_p$ subconjuntos de $3$ elementos de $X$ que satisfacen $|A_i\cap A_j|\leqslant 1$ para todos los índices $i,j$ . Muestra que existe un subconjunto $A{}$ de $X$ tal que ninguno de $A_1,A_2,\ldots, A_p$ está incluido en $A{}$ y $|A|\geqslant\lfloor\sqrt{2n}\rfloor$ .

Dos círculos se intersecan en los puntos $A\neq B$ . Una línea que pasa por $A{}$ interseca los círculos nuevamente en $C$ y $D$ . Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los arcos $\overarc{BC}$ y $\overarc{BD}$ que no contienen a $A{}$ y sea $M$ el punto medio del segmento $CD$ . Demuestra que $ME$ y $MF$ son perpendiculares.

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales dada por $a_1=1/2$ y para cada entero positivo $n$ \[ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}. \] Demuestra que para cada entero positivo $n$ tenemos que $a_1+a_2+\cdots + a_n<1$ .