Una $\textit{secuencia cúbica}$ es una secuencia de enteros dada por $a_n =n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ varía sobre todos los enteros, incluidos los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestre que existe una secuencia cúbica tal que los únicos términos de la secuencia que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determine los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una secuencia cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

Dados los enteros positivos $m$ y $n \ge m$, determine el número más grande de dominós (rectángulos de $1\times2$ o $2 \times 1$) que se pueden colocar en un tablero rectangular con $m$ filas y $2n$ columnas que consisten en celdas (cuadrados de $1 \times 1$) de modo que: (i) cada dominó cubre exactamente dos celdas adyacentes del tablero; (ii) no hay dos dominós que se superpongan; (iii) no hay dos que formen un cuadrado de $2 \times 2$; y (iv) la fila inferior del tablero está completamente cubierta por $n$ dominós.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC, D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ se encuentra con el segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ se encuentra con el segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$. Las líneas $A'C$ y $DE$ se encuentran en $P$, y las líneas $A'B$ y $DF$ se encuentran en $Q$. Demuestre que las líneas $AD, BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

Sea $n$ un entero positivo y sea $f\colon [0,1] \to \mathbb{R}$ una función creciente. Encuentre el valor de : \[\max_{0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n\leq 1}\sum_{k=1}^{n}f\left ( \left | x_k-\frac{2k-1}{2n} \right | \right )\]

Sea $m$ un entero positivo y sean $A$ , respectivamente $B$ , dos alfabetos con $m$ , respectivamente $2m$ letras. Sea también $n$ un entero par que es al menos $2m$ . Sea $a_n$ el número de palabras de longitud $n$ , formadas con letras de $A$ , en las que aparecen todas las letras de $A$ , cada una un número par de veces. Sea $b_n$ el número de palabras de longitud $n$ , formadas con letras de $B$ , en las que aparecen todas las letras de $B$ , cada una un número impar de veces. Calcule $\frac{b_n}{a_n}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ su circuncentro. Las líneas $OA$ y $BC$ se intersecan en $M$ ; los puntos $N$ y $P$ se definen de manera análoga. La línea tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ interseca a $NP$ en el punto $X$ ; los puntos $Y$ y $Z$ se definen de manera análoga. Demuestre que los puntos $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Sea $n \in \mathbb{N}$ y $S_{n}$ el conjunto de todas las permutaciones de $\{1,2,3,...,n\}$ . Para cada permutación $\sigma \in S_{n}$ denotamos $I(\sigma) := \{ i: \sigma (i) \le i \}$ . Calcule la suma $\sum_ {\sigma \in S_{n}} \frac{1}{|I(\sigma)|} \sum_ {i \in I(\sigma)} (i+ \sigma(i))$ .

Sea $p$ un número primo impar. Determine todos los pares de polinomios $f$ y $g$ de $\mathbb{Z}[X]$ tales que \[f(g(X))=\sum_{k=0}^{p-1} X^k = \Phi_p(X).\]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ . Sean las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $B$ y $C$ que se encuentran en el punto $P$ . El círculo de centro $P$ y radio $PB=PC$ se encuentra con la bisectriz interna de $\angle BAC$ dentro de $\triangle ABC$ en el punto $S$ , y $OS \cap BC = D$ . Las proyecciones de $S$ sobre $AC$ y $AB$ respectivamente son $E$ y $F$ . Demuestre que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero positivo y sean $A_n$ respectivamente $B_n$ el conjunto de enteros no negativos $k<n$ tales que el número de factores primos distintos de $\gcd(n,k)$ es par (respectivamente impar). Demuestre que $|A_n|=|B_n|$ si $n$ es par y $|A_n|>|B_n|$ si $n$ es impar. Ejemplo: $A_{10} = \left\{ 0,1,3,7,9 \right\}$ , $B_{10} = \left\{ 2,4,5,6,8 \right\}$ .