Para un entero no negativo $n$ , llame a un polinomio de una variable $F$ con coeficientes enteros $n$ - bueno si:\n(a) $F(0) = 1$\n(b) Para cada entero positivo $c$ , $F(c) > 0$, y\n(c) Existen exactamente $n$ valores de $c$ tales que $F(c)$ es primo.\nDemuestre que existen infinitos polinomios no constantes que no son $n$ - buenos para ningún $n$.

Considere $n$ números reales $x_0, x_1, . . . , x_{n-1}$ para un entero $n \ge 2$. Además, suponga que para cualquier entero $i$ , $x_{i+n} = x_i$. Pruebe que $$\sum^{n-1}_{i=0} x_i(3x_i - 4x_{i+1} + x_{i+2}) \ge 0.$$

Determine todos los pares de enteros $(m, n)$ tales que $m^2 + n$ y $n^2 + m$ son ambos cuadrados perfectos.

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. En una nave espacial, hay $n$ tripulantes. A lo sumo, una acusación de ser un impostor puede ocurrir de un tripulante a otro. Se lanzan múltiples acusaciones, con las siguientes propiedades: \n• Cada tripulante hizo un número diferente de acusaciones.\n• Cada tripulante recibió un número diferente de acusaciones.\n• Un tripulante no se acusa a sí mismo.\nDemuestre que no hay dos tripulantes que se hayan acusado entre sí.

Para cualquier entero no negativo dado $m$ , sea $f(m)$ el número de $1$ 's en la representación en base $2$ de $m$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el entero $$\sum^{2^n - 1}_{m = 0} \Big( (-1)^{f(m)} \cdot 2^m \Big)$$ contiene al menos $n!$ divisores positivos.

Un bicho está parado en cada uno de los vértices de un hexágono regular $ABCDEF$ . Al mismo tiempo, cada bicho elige uno de los vértices del hexágono, en el que no está actualmente, e inmediatamente comienza a moverse hacia ese vértice. Cada bicho viaja en línea recta desde el vértice en el que estaba originalmente hasta el vértice que eligió. Todos los bichos viajan a la misma velocidad y son de tamaño insignificante. Una vez que un bicho llega a un vértice que eligió, se queda allí. ¿De cuántas maneras pueden los bichos moverse a los vértices para que no haya dos bichos en el mismo lugar al mismo tiempo?

Dado un triángulo $A, B, C, X$ está en el lado $AB$ , $Y$ está en el lado $AC$ , y $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ tal que $AX = AY , BX = BP$ y $CY = CQ$ . Sean $XP$ e $YQ$ se intersecan en $T$ . Demuestre que $AT$ pasa por el punto medio de $PQ$ .

Sea $f(x) = x^4 + 2x^3 - x - 1$ .\n(a) Demuestre que $f(x)$ no se puede escribir como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.\n(b) Encuentre los valores exactos de las 4 raíces de $f(x)$ .

En $\triangle ABC$ , los lados interiores de los cuales son espejos, se coloca un láser en el punto $A_1$ en el lado $BC$ . Un rayo láser sale del punto $A_1$ , golpea el lado $AC$ en el punto $B_1$ , y luego se refleja en el lado. (Debido a que este es un rayo láser, cada vez que golpea un lado, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). Luego golpea el lado $AB$ en el punto $C_1$ , luego el lado $BC$ en el punto $A_2$ , luego el lado $AC$ nuevamente en el punto $B_2$ , luego el lado $AB$ nuevamente en el punto $C_2$ , luego el lado $BC$ nuevamente en el punto $A_3$ , y finalmente, el lado $AC$ nuevamente en el punto $B_3$ .\n(a) Demuestre que $\angle B_3A_3C = \angle B_1A_1C$ .\n(b) Demuestre que tal láser existe si y solo si todos los ángulos en $\triangle ABC$ son menores que $90^{\circ}$ .

Sea $1000 \leq n = \text{ABCD}_{10} \leq 9999$ un entero positivo cuyos dígitos $\text{ABCD}$ satisfacen la condición de divisibilidad: $$1111 | (\text{ABCD} + \text{AB} \times \text{CD}).$$ Determine el valor posible más pequeño de $n$ .