Sea $ ABC$ un triángulo, sean $ E, F$ los puntos de tangencia del incírculo $ \Gamma(I)$ a los lados $ AC$ , respectivamente $ AB$ , y sea $ M$ el punto medio del lado $ BC$ . Sea $ N = AM \cap EF$ , sea $ \gamma(M)$ el círculo de diámetro $ BC$ , y sean $ X, Y$ los otros (que $ B, C$ ) puntos de intersección de $ BI$ , respectivamente $ CI$ , con $ \gamma$ . Pruebe que \[ \frac {NX} {NY} = \frac {AC} {AB}.\]

Para $n\in\mathbb{N}$ , $n\geq 2$ , $a_{i}, b_{i}\in\mathbb{R}$ , $1\leq i\leq n$ , tales que \[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1, \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0. \] Pruebe que \[\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}+\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\right)^{2}\leq n. \]

Tres compañías de viajes proveen transporte entre $n$ ciudades, tal que cada conexión entre un par de ciudades es cubierta por una compañía solamente. Pruebe que, para $n \geq 11$ , debe existir un viaje redondo a través de algunas cuatro ciudades, usando los servicios de una misma compañía, mientras que para $n < 11$ esto ya no es necesariamente cierto.

El mundialmente famoso teórico marxista Joric está obsesionado tanto con las matemáticas como con el igualitarismo social. Por lo tanto, para cualquier representación decimal de un entero positivo $n$ , intenta particionar sus dígitos en dos grupos, de tal manera que la diferencia entre las sumas de los dígitos en cada grupo sea lo más pequeña posible. Joric llama a esta diferencia el defecto del número $n$ . Determine el valor promedio del defecto (sobre todos los enteros positivos), es decir, si denotamos por $\delta(n)$ el defecto de $n$ , calcule \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k = 1}^{n}\delta(k)}{n}.\]

Sea $ ABCD$ un paralelogramo con ningún ángulo igual a $ 60^{\textrm{o}}$ . Encuentre todos los pares de puntos $ E, F$ , en el plano de $ ABCD$ , tales que los triángulos $ AEB$ y $ BFC$ son isósceles, de base $ AB$ , respectivamente $ BC$ , y el triángulo $ DEF$ es equilátero.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo, tal que $AB=BC$ , $CD=DE$ , $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ , y su área es $\sqrt2$ . a) Si $\angle B=135^{\circ}$ , encuentre la longitud de $[BD]$ . b) Encuentre el mínimo de la longitud de $[BD]$ .

Sea $ABC$ un triángulo, y $\omega_{a}$ , $\omega_{b}$ , $\omega_{c}$ círculos dentro de $ABC$ , que son tangentes (externamente) uno al otro, tales que $\omega_{a}$ es tangente a $AB$ y $AC$ , $\omega_{b}$ es tangente a $BA$ y $BC$ , y $\omega_{c}$ es tangente a $CA$ y $CB$ . Sea $D$ el punto común de $\omega_{b}$ y $\omega_{c}$ , $E$ el punto común de $\omega_{c}$ y $\omega_{a}$ , y $F$ el punto común de $\omega_{a}$ y $\omega_{b}$ . Demuestre que las líneas $AD$ , $BE$ y $CF$ tienen un punto común.

En un círculo con centro $O$ se inscribe un polígono, que se triangula. Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde $O$ a los incentros de los triángulos formados es independiente de la triangulación.

i) Encuentre todas las progresiones aritméticas infinitas formadas con enteros positivos tales que exista un número $N \in \mathbb{N}$ , tal que para cualquier primo $p$ , $p > N$ , el $p$ - ésimo término de la progresión es también primo. ii) Encuentre todos los polinomios $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ , tales que exista $N \in \mathbb{N}$ , tal que para cualquier primo $p$ , $p > N$ , $| f(p) |$ es también primo.

Considere el conjunto $E = \{1,2,\ldots,2n\}$ . Pruebe que un elemento $c \in E$ puede pertenecer a un subconjunto $A \subset E$ , teniendo $n$ elementos, y tal que dos elementos distintos cualesquiera en $A$ no se dividen uno al otro, si y solo si \[c > n \left( \frac{2}{3}\right )^{k+1},\] donde $k$ es el exponente de $2$ en la factorización de $c$ .