Sea $ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ un pentágono convexo, tal que \[ [A_{1}A_{2}A_{3}] = [A_{2}A_{3}A_{4}] = [A_{3}A_{4}A_{5}] = [A_{4}A_{5}A_{1}] = [A_{5}A_{1}A_{2}].\] Pruebe que existe un punto $ M$ en el plano del pentágono tal que \[ [A_{1}MA_{2}] = [A_{2}MA_{3}] = [A_{3}MA_{4}] = [A_{4}MA_{5}] = [A_{5}MA_{1}].\] Aquí $ [XYZ]$ representa el área del triángulo $ \Delta XYZ$ .

Pruebe que la función $f : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{Z}$ definida por $f(n) = n^{2007}-n!$ , es inyectiva.

Los puntos $M, N, P$ son elegidos en los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $\Delta ABC$ , tal que el triángulo $\Delta MNP$ es acutángulo. Denotamos con $x$ la longitud de la altitud más corta del triángulo $\Delta ABC$ , y con $X$ la longitud de las altitudes más largas del triángulo $\Delta MNP$ . Pruebe que $x \leq 2X$ .

Sean $a_{i}$ , $i = 1,2, \dots ,n$ , $n \geq 3$ , enteros positivos, teniendo el máximo común divisor 1, tales que \[a_{j}\textrm{ divide }\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\] para todo $j = 1,2, \dots ,n$ . Pruebe que \[\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\textrm{ divide }\Big\{(}\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\Big\{)^{n-2}.\]

Pruebe que para $n, p$ enteros, $n \geq 4$ y $p \geq 4$ , la proposición $\mathcal{P}(n, p)$ \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_{i}}^{p}}\geq \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\quad \textrm{para}\quad x_{i}\in \mathbb{R}, \quad x_{i}> 0 , \quad i=1,\ldots,n \ ,\quad \sum_{i=1}^{n}x_{i}= n,\] es falsa.

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $X, Y \subseteq S$ , tenemos $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$ , donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Encuentre \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \]

Sea $S$ el conjunto de $n$ - uplas $\left( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ tal que $x_{i}\in \{ 0, 1 \}$ para todo $i \in \overline{1,n}$ , donde $n \geq 3$ . Sea $M(n)$ el entero más pequeño con la propiedad de que cualquier subconjunto de $S$ con al menos $M(n)$ elementos contiene al menos tres $n$ - uplas \[\left( x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \, \left( y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \, \left( z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \] tales que \[\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-z_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( z_{i}-x_{i}\right)^{2}. \] (a) Pruebe que $M(n) \leq \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{n}\right\rfloor+1$ . (b) Calcule $M(3)$ y $M(4)$ .

Encuentre todos los subconjuntos $A$ de $\left\{ 1, 2, 3, 4, \ldots \right\}$ , con $|A| \geq 2$ , tales que para todo $x,y \in A, \, x \neq y$ , tenemos que $\frac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A$ .

Sea $ABC$ un triángulo, $E$ y $F$ los puntos donde el incírculo y el $A$ - excírculo tocan $AB$ , y $D$ el punto en $BC$ tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen inradios iguales. Las líneas $DB$ y $DE$ intersectan el circuncírculo del triángulo $ADF$ de nuevo en los puntos $X$ y $Y$ . Pruebe que $XY\parallel AB$ si y solo si $AB=AC$ .

Sea \[f = X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_{0}\] un polinomio entero de grado $n \geq 3$ tal que $a_{k}+a_{n-k}$ es par para todo $k \in \overline{1,n-1}$ y $a_{0}$ es par. Suponga que $f = gh$ , donde $g,h$ son polinomios enteros y $\deg g \leq \deg h$ y todos los coeficientes de $h$ son impares. Pruebe que $f$ tiene una raíz entera.