Alphonse y Beryl juegan un juego que involucra $n$ cajas fuertes. Cada caja fuerte se puede abrir con una llave única y cada llave abre una caja fuerte única. Beryl mezcla aleatoriamente las $n$ llaves, y después de colocar una llave dentro de cada caja fuerte, cierra todas las cajas fuertes con su llave maestra. Alphonse entonces selecciona $m$ de las cajas fuertes (donde $m < n$ ), y Beryl usa su llave maestra para abrir solo las cajas fuertes que Alphonse seleccionó. Alphonse recoge todas las llaves dentro de estas $m$ cajas fuertes e intenta usar estas llaves para abrir las otras $n - m$ cajas fuertes. Si puede abrir una caja fuerte con una de las $m$ llaves, puede usar la llave en esa caja fuerte para intentar abrir cualquiera de las cajas fuertes restantes, repitiendo el proceso hasta que Alphonse abra con éxito todas las cajas fuertes, o no pueda abrir más. Sea $P_m(n)$ la probabilidad de que Alphonse pueda eventualmente abrir todas las $n$ cajas fuertes comenzando con su selección inicial de $m$ llaves.\n(a) Demuestre que $P_2(3) = \frac23$ .\n(b) Demuestre que $P_1(n) = \frac1n$ .\n(c) Para todos los enteros $n \geq 2$ , demuestre que $$P_2(n) = \frac2n \cdot P_1(n-1) + \frac{n-2}{n} \cdot P_2(n-1).$$ \n(d) Determine una fórmula para $P_2 (n)$ .

Sea $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^+$ una función, y defina $h : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^+$ por $h(x, y) = \gcd (f(x), f(y))$ . Si $h(x, y)$ es un polinomio de dos variables en $x$ e $y$ , demuestre que debe ser constante.

Los lados de un triángulo equilátero $ABC$ se dividen en $n$ partes iguales $(n \geq 2)$. Para cada punto en un lado, dibujamos las líneas paralelas a otros lados del triángulo $ABC$, por ejemplo, para $n=3$ tenemos el siguiente diagrama: [asy]\nunitsize(150);\ndefaultpen(linewidth(0.7));\nint n = 3; /* # of vertical lines, including AB */\npair A = (0,0), B = dir(-30), C = dir(30);\ndraw(A--B--C--cycle,linewidth(2)); dot(A,UnFill(0)); dot(B,UnFill(0)); dot(C,UnFill(0));\nlabel('$A$',A,W); label('$C$',C,NE); label('$B$',B,SE);\nfor(int i = 1; i < n; ++i) {\ndraw((i*A+(n-i)*B)/n--(i*A+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*B+(n-i)*A)/n--(i*B+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*C+(n-i)*A)/n--(i*C+(n-i)*B)/n);\n}\n[/asy] Para cada $n \geq 2$, encuentra el número de paralelogramos existentes.

¿Se pueden elegir diez números distintos $a_1, a_2, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, d_1, d_2, d_3$ de $\{0, 1, 2, \ldots, 14\}$, de modo que las $14$ diferencias $|a_1 - b_1|$, $|a_1 - b_2|$, $|a_1 - b_3|$, $|a_2 - b_1|$, $|a_2 - b_2|$, $|a_2 - b_3|$, $|c_1 - d_1|$, $|c_1 - d_2|$, $|c_1 - d_3|$, $|c_2 - d_1|$, $|c_2 - d_2|$, $|c_2 - d_3|$, $|a_1 - c_1|$ y $|a_2 - c_2|$ sean todas distintas?

Sea $C$ un círculo y $P$ un punto dado en el plano. Cada línea a través de $P$ que intersecta $C$ determina una cuerda de $C$. Demostrar que los puntos medios de estas cuerdas se encuentran en un círculo.

Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentra la suma de todos los enteros positivos con la propiedad de que en base $2$ cada uno tiene exactamente $2n$ dígitos, consistiendo de $n$ 1's y $n$ 0's. (El primer dígito no puede ser $0$.)

Demostrar que la ecuación $x^2+y^5=z^3$ tiene infinitas soluciones en enteros $x, y,z$ para los cuales $xyz \neq 0$.

Suponga que los números reales $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ satisfacen\n\begin{eqnarray*}\n0 \leq a_{100} \leq a_{99} \leq \cdots \leq a_2 &\leq& a_1 ,\n\\\na_1+a_2 & \leq & 100\n\\\na_3+a_4+\cdots+a_{100} &\leq & 100.\n\end{eqnarray*}\nDetermine el valor máximo posible de $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{100}^2$ , y encuentre todas las posibles secuencias $a_1, a_2, \ldots , a_{100}$ que alcanzan este máximo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle CBD = 2 \angle ADB$ , $\angle ABD = 2 \angle CDB$ y $AB = CB$ . Pruebe que $AD = CD$.

Sea $A = (a_1, a_2, \cdots ,a_{2000})$ una secuencia de enteros, cada uno dentro del intervalo $[-1000,1000]$. Suponga que las entradas en A suman $1$. Demuestre que alguna subsecuencia no vacía de $A$ suma cero.