Evalúe $\sum_{n=1}^{1994}{\left((-1)^{n}\cdot\left(\frac{n^2 + n + 1}{n!}\right)\right)}$ .

Sean $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ tres puntos en la circunferencia de un círculo con radio $1$ , donde $P_1P_2 = t < 2$ . Para cada $i \ge 3$ , define $P_i$ como el centro de la circunferencia circunscrita del $\triangle P_{i-1} P_{i-2} P_{i-3}$ .\n(1) Demuestra que los puntos $P_1, P_5, P_9, P_{13},\cdots$ son colineales.\n(2) Sea $x$ la distancia de $P_1$ a $P_{1001}$ , y sea $y$ la distancia de $P_{1001}$ a $P_{2001}$ . Determina todos los valores de $t$ para los cuales $\sqrt[500]{ \frac xy}$ es un entero.

Sea $n$ un entero positivo. A Nancy se le da una tabla rectangular en la que cada entrada es un entero positivo. Se le permite hacer cualquiera de los siguientes dos movimientos:\n(1) seleccionar una fila y multiplicar cada entrada en esta fila por $n$ ;\n(2) seleccionar una columna y restar $n$ de cada entrada en esta columna.\nEncuentra todos los valores posibles de $n$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Dada cualquier tabla rectangular, es posible para Nancy realizar una secuencia finita de movimientos para crear una tabla en la que cada entrada es $0$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AC > AB$ . Sea $P$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular de $BC$ y la bisectriz interna del ángulo $\angle{A}$ . Construye puntos $X$ en $AB$ (extendido) e $Y$ en $AC$ tales que $PX$ sea perpendicular a $AB$ e $PY$ sea perpendicular a $AC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $XY$ y $BC$ . Determina el valor de $\frac{BZ}{ZC}$ .

Hay un tablero numerado de $-10$ a $10$ . Cada casilla está coloreada de rojo o blanco, y la suma de los números en las casillas rojas es $n$ . Maureen comienza con una ficha en la casilla etiquetada $0$ . Luego, lanza una moneda justa diez veces. Cada vez que lanza cara, mueve la ficha una casilla hacia la derecha. Cada vez que lanza cruz, mueve la ficha una casilla hacia la izquierda. Al final de los diez lanzamientos, la probabilidad de que la ficha termine en una casilla roja es un número racional de la forma $\frac a b$ . Dado que $a + b = 2001$ , determina el valor más grande posible para $n$ .

Randy: 'Hola Rachel, esa es una ecuación cuadrática interesante que has escrito. ¿Cuáles son sus raíces?'\nRachel: 'Las raíces son dos enteros positivos. Una de las raíces es mi edad, y la otra raíz es la edad de mi hermano menor, Jimmy.'\nRandy: '¡Eso es muy bueno! Déjame ver si puedo averiguar cuántos años tienen tú y Jimmy. Eso no debería ser muy difícil ya que todos tus coeficientes son enteros. Por cierto, noto que la suma de los tres coeficientes es un número primo.'\nRachel: 'Interesante. Ahora averigua cuántos años tengo.'\nRandy: 'En cambio, adivinaré tu edad y la sustituiré por $x$ en tu ecuación cuadrática $\dots$ ¡maldición, eso me da $-55$ , y no $0$ .'\nRachel: '¡Oh, déjame en paz!'\n(1) Demuestra que Jimmy tiene dos años.\n(2) Determina la edad de Rachel.

Sea $\{m, n, k\}$ enteros positivos. Se colocan $\{k\}$ monedas en los cuadrados de una cuadrícula de $m \times n$. Un cuadrado puede contener cualquier número de monedas, incluyendo cero. Etiquete las $\{k\}$ monedas $C_1, C_2, · · · C_k$ . Sea $r_i$ el número de monedas en la misma fila que $C_i$ , incluyendo a la propia $C_i$ . Sea $s_i$ el número de monedas en la misma columna que $C_i$ , incluyendo a la propia $C_i$ . Demuestre que $$\sum_{i=1}^k \frac{1}{r_i+s_i} \leq \frac{m+n}{4}$$

Sea $ABC$ un triángulo con $|AB| < |AC|$ , donde $| · |$ denota la longitud. Suponga que $D, E, F$ son puntos en el lado $BC$ tales que $D$ es el pie de la perpendicular en $BC$ desde $A$ , $AE$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ , y $F$ es el punto medio de $BC$ . Además, suponga que $\angle BAD = \angle DAE = \angle EAF = \angle FAC$ . Determine todos los valores posibles de $\angle ABC$ .

Sean $a,b,c$ números reales, que no son todos iguales, tales que $$a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3.$$ Demuestre que al menos uno de $a, b, c$ es negativo.

Alice tiene cuatro cajas, $327$ bolas azules y $2022$ bolas rojas. Las bolas azules están etiquetadas del $1$ al $327$. Primero, Alice pone cada una de las bolas en una caja, posiblemente dejando algunas cajas vacías. Luego, se selecciona una etiqueta aleatoria entre $1$ y $327$ (inclusive), Alice encuentra la caja en la que está la bola con la etiqueta y selecciona una bola aleatoria de esa caja. ¿Cuál es la probabilidad máxima de que seleccione una bola roja?