Demuestre que si $a,b,c$ son números complejos tales que \[ (a+b)(a+c)=b \qquad (b+c)(b+a)=c \qquad (c+a)(c+b)=a\] entonces $a,b,c$ son números reales.

En el interior de un cubo de lado $6$ hay $1001$ cubos unitarios con las caras paralelas a las caras del cubo dado. Demostrar que hay $2$ cubos unitarios con la propiedad de que el centro de uno de ellos se encuentra en el interior o en una de las caras del otro cubo.

Sea $ABCD A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ una pirámide regular truncada en la que $BC^{\prime}$ y $DA^{\prime}$ son perpendiculares. (a) Demostrar que $\measuredangle \left( AB^{\prime},DA^{\prime} \right) = 60^{\circ}$ ; (b) Si la proyección de $B^{\prime}$ en $(ABC)$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$ , entonces demostrar que $d \left( CB^{\prime},AD^{\prime} \right) = \frac12 BC^{\prime}$ .

Demostrar que la ecuación $x^2+y^2+z^2+t^2=2^{2004}$ , donde $0 \leq x \leq y \leq z \leq t$ , tiene exactamente $2$ soluciones en $\mathbb Z$ .

Hallar todos los enteros no negativos $n$ tales que existen $a,b \in \mathbb Z$ que satisfacen $n^2=a+b$ y $n^3=a^2+b^2$ .

Sea $\mathcal K$ un cuerpo de característica $p$ , $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$ . (a) Demostrar que $-1$ es el cuadrado de un elemento de $\mathcal K.$ (b) Demostrar que cualquier elemento $\neq 0$ de $\mathcal K$ puede escribirse como la suma de tres cuadrados, cada uno $\neq 0$ , de elementos de $\mathcal K$ . (c) ¿Puede escribirse $0$ de la misma manera?

Sea $f : \left[ 0,1 \right] \to \mathbb R$ una función integrable tal que $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx = 1 .$ Demostrar que $\displaystyle \int_0^1 f^2 (x) \, dx \geq 4 .$

Sea $f \in \mathbb Z[X]$ . Para un $n \in \mathbb N$ , $n \geq 2$ , definimos $f_n : \mathbb Z / n \mathbb Z \to \mathbb Z / n \mathbb Z$ mediante $f_n \left( \widehat x \right) = \widehat{f \left( x \right)}$ , para todo $x \in \mathbb Z$ . (a) Demostrar que $f_n$ está bien definida. (b) Hallar todos los polinomios $f \in \mathbb Z[X]$ tales que para todo $n \in \mathbb N$ , $n \geq 2$ , la función $f_n$ es sobreyectiva.

Hallar todas las funciones continuas $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para todo $x \in \mathbb R$ y para todo $n \in \mathbb N^{\ast}$ tenemos que $\displaystyle n^2 \int_{x}^{x + \frac{1}{n}} f(t) \, dt = n f(x) + \frac12 .$

El problema es sobre funciones polinómicas reales, denotadas por $f$ , de grado $\deg f$ . a) Pruebe que una función polinómica $f$ no puede ser escrita como la suma de a lo sumo $\deg f$ funciones periódicas. b) Muestre que si una función polinómica de grado $1$ se escribe como la suma de dos funciones periódicas, entonces son no acotadas en cada intervalo (por lo tanto, son 'salvajes'). c) Muestre que toda función polinómica de grado $1$ puede ser escrita como la suma de dos funciones periódicas. d) Muestre que toda función polinómica $f$ puede ser escrita como la suma de $\deg f+1$ funciones periódicas. e) Dé un ejemplo de una función que no puede ser escrita como una suma finita de funciones periódicas.